Aktualisiert: 2022-08-18
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Differential- und Integralrechnung I
Autor: Ingo Lieb
Differential- und Integralrechnung I.
Differential- und Integralrechnung I
Differential- und Integralrechnung I
Differential- und Integralrechnung II
Differential- und Integralrechnung I.
Das vorliegende Brich über Funktionen einer reellen Veränderlichen ist der erste Teil einer dreibändigen Darstellung der Differential- und Integralrechnung. In den folgenden Bänden sollen Funktionen mehrerer Veränderlichen, gewöhnliche Differentialgleichungen und Integrations theorie behandelt werden. Das Werk ist aus Vorlesungen für Studienanfänger der Mathematik und Physik hervorgegangen. Dem einführenden Charakter dieser Vor lesungen gemäß soll auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in höherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen möglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennen zu lernen. Dementsprechend sind alle Beweise bis in die Einzel heiten hinein ausgeführt, und in den ersten Paragraphen werden wich tige Beweismethoden eigens erläutert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenüber einen "naiven", d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders für das Prinzip der vollständigen Induktion und damit auch für den Begriff der natürlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Übersicht über den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. Im ersten Kapitel werden die Axiome des reellen Zahlkörpers mit ihren einfachsten Folge rungen ausführlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + oo und - oo werden axiomatisch miteingeführt. Die nächsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fußenden Grenzwertbegriff für Folgen und Reihen gewidmet. Da wir für die Definition der Konvergenz die natürliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen ± oo ausgeschlossen. -Die Begriffe "Iimes superior" und "Iimes inferior" sind so gefaßt, daß sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harmonieren.
Aktualisiert: 2022-08-18
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Differential- und Integralrechnung I
Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie
Das Buch wendet sich an Studenten, die mit den Grundlagen der Funktionentheorie, wie sie etwa in ,,Fischer/Lieb - Funktionentheorie" dargestellt werden, vertraut sind, und führt in wichtige Kapitel, vor allem der geometrischen Funktionentheorie, ein. Im Vordergrund stehen Resultate und Methoden der komplexen Analysis einer Veränderlichen, die in jüngster Zeit Vorbild für Entwicklungen in der mehrdimensionalen komplexen Analysis geworden sind. Dazu gehör en invariante Metriken, Hardy-Räume, Corona-Theorem, Randverhalte n konformer Abbildungen (Sätze von Carathéodory, Warschawski und H. A. Schwarz), Bergmansche und Szegösche Kernfunktion, potential theoretische Methoden. Diese Hilfsmittel und Ergebnisse erschließ en gleichzeitig den Zugang zu klassischen Theorien der komplexen Analysis, denen ein beträchtlicher Teil des Buches gewidmet is t: Uniformisierungstheorie (mittels Konstruktion Greenscher Funkt ionen), Schwarz-Christoffel-Formeln, Schwarzsche Dreiecksfunktion en, die hypergeometrische Differentialgleichung, elliptische Modu lfunktionen und Parametrisierung ebener Kubiken, Sätze von Picard , Bloch und Landau.
Aktualisiert: 2023-02-02
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Funktionentheorie
Inhalt: Komplexe Zahlen und Funktionen - Kurvenintegrale - Holomorphe Funktionen - Der globale Cauchysche Integralsatz - Die Umkehrung der elementaren Funktionen - Isolierte Singularitäten - Partialbruch- und Produktentwicklungen - Funktionentheorie aus beliebigen Bereichen - Biholomorphe Abbildungen
Aktualisiert: 2023-01-22
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Einführung in die Komplexe Analysis
In den Bachelor-Studiengängen der Mathematik steht für die Komplexe Analysis (Funktionentheorie) oft nur eine einsemestrige 2-stündige Vorlesung zur Verfügung. Dieses Buch eignet sich als Grundlage für eine solche Vorlesung im 2. Studienjahr. Mit einer guten thematischen Auswahl, vielen Beispielen und ausführlichen Erläuterungen gibt dieses Buch eine Darstellung der Komplexen Analysis, die genau die Grundlagen und den wesentlichen Kernbestand dieses Gebietes enthält. Das Buch bietet über diese Grundausbildung hinaus weiteres Lehrmaterial als Ergänzung, sodass es auch für eine 3- oder 4 –stündige Vorlesung geeignet ist. Je nach Hörerkreis kann der Stoff unterschiedlich erweitert werden. So wurden für den „Bachelor Lehramt“ die geometrischen Aspekte der Komplexen Analysis besonders herausgearbeitet.
Aktualisiert: 2023-04-02
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Funktionentheorie
Das hier dargestellte klassische Teilgebiet der Mathematik nimmt einen wichtigen Platz in den Mathematik-Studiengängen ein, es ist auch für Physik-Studierende von Bedeutung. Es werden klassische und neuere Ergebnisse der funktionentheorie ausführlich dargestellt, z.B. homogene und inhomogene Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen, Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß für beliebige Bereiche, rationale Approximation, Riemannscher Abbildungssatz. Der Text wird durch zahlreiche Übungsaufgaben ergänzt. Daher ist das Buch sowohl zum Gebrauch neben Vorlesungen als auch zum Selbststudium geeignet. Der Text wurde für die 8. Auflage überarbeitet, erweitert und neu in TEX gesetzt. Es wurden ein neuer Paragraph über die Riemannsche Zeta-Funktion sowie neue Abschnitte über Fourier-Reihen und über komplexe Quadriken aufgenommen.
Aktualisiert: 2023-03-14
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Differential- und Integralrechnung II
Funktionentheorie
Es werden klassische und neuere Ergebnisse der Funktionentheorie ausführlich dargestellt, z.B. homogene und inhomogene Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß für beliebige Bereiche, rationale Approximation, Riemannscher Abbildungssatz. Der Text wird durch zahlreiche Übungsaufgaben ergänzt. Daher ist das Buch sowohl zum Gebrauch neben Vorlesungen als auch zum Selbststudium geeignet.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Differential- und Integralrechnung I
Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie
Das Buch wendet sich an Studenten, die mit den Grundlagen der Funktionentheorie, wie sie etwa in ,,Fischer/Lieb - Funktionentheorie" dargestellt werden, vertraut sind, und führt in wichtige Kapitel, vor allem der geometrischen Funktionentheorie, ein. Im Vordergrund stehen Resultate und Methoden der komplexen Analysis einer Veränderlichen, die in jüngster Zeit Vorbild für Entwicklungen in der mehrdimensionalen komplexen Analysis geworden sind. Dazu gehör en invariante Metriken, Hardy-Räume, Corona-Theorem, Randverhalte n konformer Abbildungen (Sätze von Carathéodory, Warschawski und H. A. Schwarz), Bergmansche und Szegösche Kernfunktion, potential theoretische Methoden. Diese Hilfsmittel und Ergebnisse erschließ en gleichzeitig den Zugang zu klassischen Theorien der komplexen Analysis, denen ein beträchtlicher Teil des Buches gewidmet is t: Uniformisierungstheorie (mittels Konstruktion Greenscher Funkt ionen), Schwarz-Christoffel-Formeln, Schwarzsche Dreiecksfunktion en, die hypergeometrische Differentialgleichung, elliptische Modu lfunktionen und Parametrisierung ebener Kubiken, Sätze von Picard , Bloch und Landau.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Differential- und Integralrechnung I
Einführung in die Komplexe Analysis
In den Bachelor-Studiengängen der Mathematik steht für die Komplexe Analysis (Funktionentheorie) oft nur eine einsemestrige 2-stündige Vorlesung zur Verfügung. Dieses Buch eignet sich als Grundlage für eine solche Vorlesung im 2. Studienjahr. Mit einer guten thematischen Auswahl, vielen Beispielen und ausführlichen Erläuterungen gibt dieses Buch eine Darstellung der Komplexen Analysis, die genau die Grundlagen und den wesentlichen Kernbestand dieses Gebietes enthält. Das Buch bietet über diese Grundausbildung hinaus weiteres Lehrmaterial als Ergänzung, sodass es auch für eine 3- oder 4 –stündige Vorlesung geeignet ist. Je nach Hörerkreis kann der Stoff unterschiedlich erweitert werden. So wurden für den „Bachelor Lehramt“ die geometrischen Aspekte der Komplexen Analysis besonders herausgearbeitet.
Aktualisiert: 2023-04-04
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