Im vorliegenden zweiten Band der Analysis werden zwei Grundlinien verfolgt:
Für den Anfänger soll der Text möglichst einfach und nachvollziehbar
gestaltet werden. Das erfordert eine gewisse Ausführlichkeit. Die notwendige
Klarheit wird dabei nicht zuletzt durch Verwendung von möglichst einfachen
Bezeichnungen erreicht. Zum anderen geht der Autor aber keine Kompromisse
ein: alle Sätze werden so gestaltet, daß sie sich möglichst in jeder
Situation anwenden lassen.
Der Autor haht sich in diesem Buch zwei Aufgaben bei der Bearbeitung der
Funktionen mehrerer Variablen gestellt: einerseits möglichst wenige
Kompromisse, andrerseit eine durchweg vollständige und für den
interessierten Leser nachvollziehbaren Text herzustellen. Es wurde darauf
geachtet, alles ohne unnötigen Ballast bei den Formeln darzustellen.
Der Text umfaßt den Stoff, der i.w. im zweiten Studiensemester angeboten
wird, geht aber in vielen Punkten deutlich darüber hinaus. So wird der Satz
von Sard vollständig in seiner scharfen Version bewiesen nach einer Methode,
die den Whitneyschen Fortsetzungssatz benutzt. Natürlich sind aber auch die
Differentiation und Integration (mit dem Lebesgueintegral) von
Funktionen mehrerer Variablen vollständig dargestellt. Die üblichen Themen
kommen aber keineswegs zu kurz; es seien als Beispiele die Taylorsche
Formel, lokale Extremwerte [mit und ohne Nebenbedingung], Umkehrfunktionen,
implizite Funktionen, Transformationsformel und lineare
Differentialgleichungssysteme erwähnt.
Für eine ausfuehrliche Darstellung der Stokesschen Formel blieb
leider kein Raum, so daß diese erst im dritten Teil dieser Einführung
gebracht werden kann.
Es werden alle Begriffe ausführlich und mit vielen Beispielen erläutert, so
daß sich das Buch - wie auch der erste Teil - wieder sehr gut zum
Selbststudium eignet. Die Physiker seinen besonders auf die bisweilen vom
Üblichen abweichende Sicht auf einige grundlegende Definitionen aus der
Mechanik hingewiesen. Die überaus zahlreichen Übungsaufgaben sollen beim
Lernenden zur Verfestigung des Stoffes beitragen, aber auch der
Unterrichtende wird daraus überreichlich schöpfen koennen. Darüber hinaus
ist das Buch so angelegt, daß es geradezu zum mehrfachen Durchlesen anregt.
Aktualisiert: 2020-11-18
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Im ersten Semester des Mathematikstudiums werden an den
Hochschulen und Universitäten in der Regel zwei große Vorlesungen angeboten,
nämlich eine algebraisch-geometrisch orientierte und eine Vorlesung über
Analysis, in der die Differentiation und Integration von Funktionen einer
Variablen behandelt werden. Der vorliegende Band deckt den Stoff dieses zuletzt genannten Gebietes ab und geht in vielen Punkten sogar darüber hinaus. Begonnen wird mit der Einführung der verschiedenen Zahlsysteme bis hin zu den komplexen Zahlen, so daß prinzipiell keinerlei mathematische Vorkenntnisse notwendig sind; selbst grundlegende logische und mengentheoretische Begriffe werden von Anfang an
erläutert. Erwähnenswert sind: die Summation beliebiger - nicht notwendig
mit den natürlichen Zahlen indizierter - Reihen; die auch abstrakt auf
metrischen Räumen erklärte Stetigkeit; der möglichst einfach gehaltene
Integralbegriff [die Einführung des tieferliegenden Lebesgueschen
Integrals bleibt dem zweiten Band dieses Werkes vorbehalten]; die
weitgehende Algebraisierung bei der Herleitung der Differentiationsregeln.
Neben den üblichen Funktionen werden ausführlich die Hyperbelfunktionen, die
Riemannsche Zetafunktion und die Gammafunktion untersucht. In jeweils
gesonderten Abschnitten kommen die analytischen Funktionen einer reellen
Variablen, die Approximation von Funktionen durch Polynome bis hin zum Satz
von Stone und Weierstrass, die Taylorschen Reihen und vieles andere zur Sprache.
Aktualisiert: 2020-11-18
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