Die vorliegende Dissertation ist motiviert durch eine praktische Aufgabenstellung: der Verwertung von Edelsteinen. Liegt der Fokus dabei auf der Volumenmaximierung der zu fertigenden Schmucksteine, handelt es sich aus mathematischer Sicht um eine Aufgabe der maximalen Materialausbeute mit veränderlichen Designs. In der Arbeit wird gezeigt, dass sich derartige Probleme bei funktionaler Beschreibung aller involvierten Objekte als allgemeines semi-infinites Optimierungsproblem (GSIP) formulieren lassen. Für das numerische Lösen von GSIPs mit konvexen Problemen der unteren Stufe werden zwei Methoden entwickelt und deren Konvergenz nachgewiesen. Das erste Verfahren basiert auf der Approximation der infiniten Indexmenge mittels verschobener entropischer Glättung, das zweite kombiniert die Transformation in ein gewöhnliches semi-infinites Problem sowie die Diskretisierbarkeit dessen geschickt miteinander. Abschließend werden die beiden Methoden mit dem Verfahren von Stein numerisch verglichen und gezeigt, dass sich kleine bis mittlere Probleminstanzen der Edelstein-Verwertungsaufgabe mittels des transformationsbasierten Diskretisierungsverfahrens auf einem Standard-PC in annehmbarer Zeit lösen lassen.
Aktualisiert: 2023-06-01
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Die vorliegende Dissertation ist motiviert durch eine praktische Aufgabenstellung: der Verwertung von Edelsteinen. Liegt der Fokus dabei auf der Volumenmaximierung der zu fertigenden Schmucksteine, handelt es sich aus mathematischer Sicht um eine Aufgabe der maximalen Materialausbeute mit veränderlichen Designs. In der Arbeit wird gezeigt, dass sich derartige Probleme bei funktionaler Beschreibung aller involvierten Objekte als allgemeines semi-infinites Optimierungsproblem (GSIP) formulieren lassen. Für das numerische Lösen von GSIPs mit konvexen Problemen der unteren Stufe werden zwei Methoden entwickelt und deren Konvergenz nachgewiesen. Das erste Verfahren basiert auf der Approximation der infiniten Indexmenge mittels verschobener entropischer Glättung, das zweite kombiniert die Transformation in ein gewöhnliches semi-infinites Problem sowie die Diskretisierbarkeit dessen geschickt miteinander. Abschließend werden die beiden Methoden mit dem Verfahren von Stein numerisch verglichen und gezeigt, dass sich kleine bis mittlere Probleminstanzen der Edelstein-Verwertungsaufgabe mittels des transformationsbasierten Diskretisierungsverfahrens auf einem Standard-PC in annehmbarer Zeit lösen lassen.
Aktualisiert: 2023-03-31
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