Topologische Ableitung zur Optimierung crashbelasteter Strukturen

In dieser Dissertation wird die Topologische Ableitung unter Materialnichtlinearität, großer Verformung und Zeitabhängigkeit vorgestellt. Hierbei gibt die Topologische Ableitung an, wie sich ein Funktional durch Einbringen einer Aussparung verändert. Mithilfe der adjungierten Methode und einer Interpolation des elasto-plastischen Materialverhaltens wird ein Berechnungsverfahren zur Bestimmung dieser Sensitivität entwickelt.

Die Funktionale werden um die mechanischen nichtlinear transienten Gleichgewichtsbedingungen mit einem Lagrange-Multiplikator (der Adjungierten) erweitert. Dieser wird so gewählt, dass implizite Ableitungsterme, wie beispielsweise die Ableitung der Verschiebung nach der Entwurfsvariable, nicht mehr berechnet werden müssen, sondern nur die expliziten Ableitungsterme, wie beispielsweise die Ableitung des Funktionals nach der Entwurfsvariable. Für die Berechnung der Adjungierten ist ein Endwertproblem zu lösen. Je nachdem, ob zuerst differenziert wird und anschließend die zeitliche Diskretisierung erfolgt oder umgekehrt, entsteht ein eigenes Lösungsschema für die Adjungierte. Die Entwicklung ist zunächst allgemein gehalten, so dass das adjungierte Lösungsschema auch für Funktionale, die Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen beinhalten, gültig ist. Für die innere Energie einer Struktur und die Verschiebung eines Einzelpunktes wird die Topologische Ableitung in analytischer Form konkretisiert.

Es verbleiben für die Berechnung der Topologischen Ableitung Integralterme, deren Auflösung analytisch nicht mehr möglich ist. Diese Integration wird durch eine Materialinterpolation ersetzt, die das durch plastische Dehnung und isotrope Verfestigung entstandene Materialverhalten temporär linearisiert wiedergibt.