Dieses Buch ist eine Einführung in die neuere Geometrie des Raumes in räumlich-gegenräumlicher Auffassung. Die letztere hatte Locher etwa gleichzeitig mit George Adams und unabhängig von ihm nach bestimmten Angaben Rudolf Steiners um 1935 gefunden. Die Frucht jahrzehntelanger Beschäftigung mit dem Gegenraum, aber auch mit Fragen des Unterrichtes, hat hier eine Form angenommen, die nicht nur dem Geometer, sondern jedem Liebhaber und vor allem dem Lehrer eine knappe Einführung, eine strenge Schulung und zugleich reiches Material für die Gestaltung des Unterrichtes zur Verfügung stellt.
Aktualisiert: 2022-07-15
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George Adams unternimmt immer wieder neue Ansätze zur Durcharbeitung und Darstellung fundamentaler Gebilde der synthetischen projektiven Geometrie; es geht ihm dabei vor allem um die Bereitstellung von Grundlagen für eine spirituell erweiterte Naturerkenntnis im Licht der Anthro-posophie Rudolf Steiners. Er legt großen Wert auf die gründliche und lebendige Veranschaulichung der entsprechenden Grundgedanken; dabei zeigt sich, dass in diesem Zusammenhang vor allem die Liniengeometrie von fundamentaler Bedeutung ist. Die Arbeit kann von jedermann mit elementaren Kenntnissen der projektiven Geometrie verstanden werden.
Aktualisiert: 2021-01-15
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Die Frage, ob sich das menschliche Denken selbst begründen kann oder durch neurophysiologische Vorgänge bedingt ist, wird nach wie vor in der gegenwärtigen Philosophie kontrovers diskutiert. Hier werden einige grundlegende Einwände gegen das Unternehmen einer Selbstaufklärung des Denkens besprochen und gezeigt, dass diese nicht haltbar sind. Dies gibt Anlass zu einer detaillierten Untersuchung, was Selbstbezug in Mathematik, Logik und Erkenntniswissenschaft überhaupt bedeuten kann.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Der Sternenhimmel – er ist das große Buch der Natur, das jedes Jahr ein einzigartiges Kapitel bereit hält. Ihm wendet sich der Sternkalender mit einer Fülle von Bildern und Erklärungen zu. 'Beziehung' ist ein Schlüsselbegriff der Gegenwart geworden und es gibt kein Feld, wo Beziehung so rein verfolgt und erlebt werden kann, wie in der Komposition der Sternbilder und der wechselnden Stellungen der Planeten. 2014 ist ein Fest besonderer planetarischer Begegnungen: Mars verbindet sich mit Saturn im August, während zugleich Jupiter und Venus eine Gemeinschaft feiern, der rote Planet betont dieses Jahr Michaeli im Skorpion, und zur Eröffnung des Jahres 2015 zeigen im Januar Merkur, Venus und Mars einen Tanz am Abendhimmel. Die Fülle der Begegnungen am Himmel gipfelt mit der Sonnenfinsternis am Frühlingsanfang. Diese Augenblicke zu erleben und verstehen zu lernen, dazu ist der Sternkalender ein wertvoller Begleiter.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Die vorliegende JUPITER-Ausgabe enthält zwei Beiträge zur lemniskatischen Bewegung der Himmelskörper. Einerseits setzt Roland Schrapp seine Betrachtungen zum Lemniskatenbahnensystem fort, welche er in der JUPITER-Ausgabe von September 2010 begonnen hat. Gerhard Egger ließ sich von diesem ersten Teil zu einem Forumsbeitrag anregen, der nun abgedruckt ist.
Aktualisiert: 2020-10-08
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Nach einer Einführung in die wichtigsten Teile der räumlichen projektiven Geometrie befasst sich der Autor mit dem Linearen Komplex, der als relativ kompliziertes Gebilde im dreidimensionalen projektiven Raum, aber auch selbst wieder als Grundgebilde in einem fünfdimensionalen 'Komplexraum' aufgefasst werden kann.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Ausgehend von einer Fragenbeantwortung Rudolf Steiners im Jahre 1920 wurde es unternommen, das im Rahmen anthroposophischer Naturwissenschaft ungelöste Problem überimaginärer Zahlen anzugehen. Der Versuch war hierbei, aus dem Geometrischen, der Raum-Gegenraum-Strahlenraum-Dreiheit, heraus das Problem zu lösen. Es ergab sich, dass Cliffordsche Algebren die nötigen Zusammenhänge liefern.
Aktualisiert: 2020-07-31
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Stellen wir uns vor Augen, welche große Bedeutung es haben könnte, wenn im Menschen ein Gefühl für das wundersame Gewebe der Zahlen erweckt würde. Derjenige, der einmal einen solchen Blick in die Werkstätten der Cherum, aus denen die Zahlenwesen ihren Ursprung nehmen, tun durfte, wird die Zahlenreihe nicht zu Frondiensten missbrauchen. Sie stellt uns ein Geist-Kunstwerk wundersamster Art dar. Zwar ist es ein Kunstwerk, das aus den Welten der Notwendigkeit stammt. Wer aber frei schaffen will, muss vor allem lernen, sich richtig in die Notwendigkeiten einzugliedern.
Aktualisiert: 2020-08-14
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Die Arithmetik bildet die Grundlage der Mathematik, insofern wir von der reinen Geometrie absehen. Sie gehört zu dem Schönsten und Bedeutsamsten, was dem menschlichen Geist zu schaffen gegeben war. Der Verfasser wollte in diesem Lehr- und Übungsbuch eine flüssig zu lesende, gründliche Einführung in die elementare Arithmetik geben. Die Grundbegriffe werden ausführlich erläutert und an vielen einfachsten Beispielen im Text geübt. In den jeweils am Schluss eines Kapitels zusammen gestellten Aufgaben finden sich viele, die für den Anfänger nicht ganz einfach zu lösen sind.
Aktualisiert: 2021-01-06
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Der Entschluss zur Herausgabe der vorliegenden Gedenkschrift kam aus der Erwägung zustande, dass Elisabeth Vreede heute wie zu ihren Lebzeiten den meisten Menschen unbekannt geblieben ist. Zwei Aussprüche soll es von Rudolf Steiner über Elisabeth Vreede geben; der eine: 'diese Individualität wünscht nicht erkannt zu werden', und der andere, dass sie seinetwegen zu früh inkarniert sei.
Aktualisiert: 2021-01-12
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Anhand elementarer mathematischer und philosophischer Betrachtungen am geometrischen Beispiel wird eine Einführung in die Erkenntnisgrundlagen der Anthroposophie als Geisteswissenschaft skizziert. Besonderer Wert wird auf die genaue Beobachtung und begriffliche Bestimmung des erlebten Denkens und Vorstellens in ihren verschiedenen Erscheinungsweisen gelegt. Die ergänzenden historisch-systematischen Überlegungen ordnen diese Untersuchungen in einen umfassenderen Kontext ein.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Nach wechselvollen Versammlungen geht 2012 jeder Planet seinen eigenen Weg, er ist dabei aber nicht alleine: Saturn zieht seine Schleife um Spica, die 'Ähre in der Hand der Jungfrau' – der Planet der Reife beim Stern der Reife. Auch Mars ist bei 'seinem Stern' und zieht seine Schleife bei Regulus, dem Bruststern des Löwen. Ebenso ist Jupiter an einem besonderen Sternenort: er wandert unterhalb des Widders, dem Anfang des Tierkreises. In den frühen Abbildungen des Tierkreises wird der Widder stets als Schafsbock dargestellt, der sich umwendet und zurückblickt. Wie in der Ähre Spica Frucht und Keim zugleich anwesend sind, kommen auch in diesem Bild Vergangenheit und Zukunft zusammen. Die spannungsvollen Konstellationen des Jahres 2010/2011 münden dieses Jahr in individuelle Formen des Reifens und Verinnerlichens. Erst der tatsächliche Anblick am Nachthimmel, das Mitverfolgen des Zusammenspiels von Planet und Stern wird dabei innere Gewissheit geben. Die Erscheinungen am Nachthimmel in Augenschein zu nehmen lohnt sich, denn drei Dinge, die in der heutigen schnellen Welt oft abhandenkommen, schenkt dieser Anblick: Ruhe, Ordnung und Beziehung. Hierfür ist der Sternkalender ein inspirierender Begleiter.
Aktualisiert: 2020-08-15
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Die drei Grundbegriffe Raum, Zeit und Geschwindigkeit werden vom Standpunkt des realistischen Idealismus erkenntnistheoretisch analysiert. Daraus ergeben sich verschiedene Konsequenzen für die Auffassung der speziellen Relativitätstheorie und damit auch einiger Grundlagen der Quantenelektrodynamik. Erstere hat als Kern eine hyperbolische Kinematik. Der für die Beschreibung von physikalischen Ereignissen wichtige Impuls-Energie-Vierervektor kann als Umkreisgrösse aufgefasst werden, der Welle-Teilchen-Dualismus projektiv als polares Paar von Punktvektor und Ebenenvektor mit einer stetigen Vermittlung einer Polarität. Elektron und Positron sind verschieden orientierte imaginäre Geraden nach von Staudt in Punkten der metrischen Quadrik, eine erste projektive Deutung von Materie und Antimaterie. Das Zusammenwirken von Geschwindigkeitsraum und entsprechendem Dualraum tritt an die Stelle von Teilchenereignissen in der Raumzeit, was einen Paradigmenwechsel nahe legt.
Der Autor: Peter Gschwind, geb. 1941, Fachhochschulprofessor für Mathematik und Informatik.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Es wird in diesem Band eine Reihe von Aufsätzen wieder veröffentlicht, die als Beiträge von Louis Locher-Ernst zur Metamorphosenlehre betrachtet werden dürfen. Den eigentlich mathematischen Aufsätzen werden dabei im ersten Teil Darstellungen vorangestellt, die sich wesentlich auch an Nichtmathematiker wenden. Sie zeigen, welche allgemeinen Fragen zu den Untersuchungen führten und geben diesen einen über das nur Fachmathematische hinausgehenden Sinn.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Die Geometrie der Wegkurven, das heißt der Spuren von kontinuierlichen projektiven Transformationen, bietet durch ihren Bewegungs- und Formenreichtum ein reiches Übungsfeld anschaulich-geometrischer Betrachtungen. Sie ist zudem die mathematische Grundlage für die mannigfachen Anwendungen solcher Kurven- und Bewegungssysteme auf Naturformen und Naturprozesse.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Ein dreigliedriger Ansatz mit projektiver
Geometrie erlaubt es, den
quantitativen Teil der Farbenwelt
ohne mechanische Reminiszenzen
und ohne die üblichen Modellvorstellungen
zu fassen. Es entsteht
ein Gedankenweg, der vom
Menschenkundlichen bis zu einer
konkreten Farberscheinung führt.
Aktualisiert: 2021-11-08
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Diese Schrift enthält eine kurze Auseinandersetzung über die Beziehung von Goetheanismus und synthetischer Geometrie und stellt einige Erkenntnisprobleme der modernen Quantenphysik dar. Dann wird versucht, die Quantenmechanik und die synthetische Geometrie zusammenzubringen mit dem Ziel, mit goetheanistischen und anthroposophischen Gesichtspunkten mathematische Strukturen der modernen Physik, die Dirac-Gleichung, mit neuen Gedankenformen zu befruchten.
Aktualisiert: 2020-09-08
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Dieses Buch ist eine Einführung in die neuere Geometrie des Raumes in räumlich-gegenräumlicher Auffassung. Die letztere hatte Locher etwa gleichzeitig mit George Adams und unabhängig von ihm nach bestimmten Angaben Rudolf Steiners um 1935 gefunden. Die Frucht jahrzehntelanger Beschäftigung mit dem Gegenraum, aber auch mit Fragen des Unterrichtes, hat hier eine Form angenommen, die nicht nur dem Geometer, sondern jedem Liebhaber und vor allem dem Lehrer eine knappe Einführung, eine strenge Schulung und zugleich reiches Material für die Gestaltung des Unterrichtes zur Verfügung stellt.
Aktualisiert: 2021-01-08
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Anhand von 19 lebendigen und informativen Porträts wird die menschliche Dimension der Geschichte der Mathematisch-Astronomischen Sektion am Goetheanum entfaltet. Großer Wert wird auf die Darstellung der vielfachen Verbindungen zwischen Menschen, welche der Arbeit dieser Sektion nahestanden oder direkt in ihr arbeiteten, gelegt. Die Biographien werden ergänzt durch eine Liste der Hauptwerke, Hinweise auf die Aufbewahrungsorte des Nachlasses sowie eine weitgehend vollständige Bibliographie aller veröffentlichten Werke (Bücher, Aufsätze) der einzelnen Autoren.
Aktualisiert: 2020-05-20
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In seinen Darstellungen legte Adams großen Wert auf die gründliche und lebendige Veranschaulichung der entsprechenden Grundgedanken. Um noch tiefer in die Gesetzmäßigkeiten der elliptischen linearen Kongruenz (von Adams Spiralen-Mutterform genannt) sowie der allgemeinen imaginären Geraden durch eine von Gedanken geleitete Anschauung einzusteigen, entwarf er 1937 bis 1939 mehr als zwanzig Fadenmodelle, die von Olive Whicher gebaut wurden und von welchen einige hier abgebildet sind. Ursprünglich nicht zur Publikation bestimmt, bildet der hier vorliegende Aufsatz einen an Elisabeth Vreede gerichteten Begleitbrief zu einer Auswahl dieser Modelle, die extra für sie angefertigt wurden.
Aktualisiert: 2020-07-08
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