Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 6. Auflage wurde um einige neue Aufgabe und Lösungen erweitert.
Aktualisiert: 2023-05-06
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Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 7. Auflage wurde um einige neue Aufgaben und Lösungen erweitert.
Aktualisiert: 2023-05-06
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Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 7. Auflage wurde um einige neue Aufgaben und Lösungen erweitert.
Aktualisiert: 2023-05-06
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Der Teil 1 dieses bewährten Repetitoriums der Analysis bietet die wichtigsten Definitionen, Sätze und Beispiele einer üblichen zweisemestrigen Analysisvorlesung. Zu jedem Abschnitt gibt es zahlreiche Aufgaben mit ausführlichen Lösungen. Das Spektrum reicht dabei von einfachen bis hin zu anspruchsvollen Aufgaben.Aus dem Inhalt:GrundlagenFolgen und ReihenStetige FunktionenDifferenzierbare FunktionenRiemannsches Integral
Aktualisiert: 2023-03-29
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Der Teil 1 dieses bewährten Repetitoriums der Analysis bietet die wichtigsten Definitionen, Sätze und Beispiele einer üblichen zweisemestrigen Analysisvorlesung.
Zu jedem Abschnitt gibt es zahlreiche Aufgaben mit ausführlichen Lösungen. Das Spektrum reicht dabei von einfachen bis hin zu anspruchsvollen Aufgaben.
Aus dem Inhalt:
Grundlagen
Folgen und Reihen
Stetige Funktionen
Differenzierbare Funktionen
Riemannsches Integral
Aktualisiert: 2023-05-02
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Aktualisiert: 2022-05-26
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3 Für die Funktion f(x,y,=):= 1 zum Beispiel hat (1) den Wert (47t/3)R , (2) aber 2 den Wert R·27t·7t=27t R. Um den wahren Sachverhalt zu ergründen, betrachten wir für ein großes, aber festes seIN die im Innern von Q enthaltenen s-Würfel I". s und bezeichnen sie mit *1 (1 :!;,j:!;,N). Die durch (251. 2) definierte Abbildung g: u:=(r,qJ,. 9)-x:=(x,y,z) führt jeden Würfel W bijektiv in ein krummlinig begrenztes "Klötzchen" AcB • j j 3 R über (siehe die Fig. 252. 1). Diese Klötzchen bilden zusammen ein die Kugel B • 3 R von innen approximierendes Klötzchengebäude, somit gilt (wir verwenden wie derum das Zeichen == für "ungefähr gleich"): Es sei u das Zentrum des Würfels W und xj:=g(uj)eA . Wir wollen annehmen, j j j die Funktion f sei stetig; dann dürfen wir weiter schreiben Nun ist g differenzierbar und W "klein", somit ist j g(U) == g(U)+ g. (u)(u-u) eine für alle ue W brauchbare Approximation. Hiernach ist das Klötzchen j A j = g(W) in erster Näherung ein Parallelepiped, das durch Verzerrung des j Würfels *1 mit der linearen Abbildung g. (u) entstanden ist. Aufgrund von Satz (23. 22) gilt daher Fig. 252. 1 88 25. Variablentransformation bei mehrfachen Integralen so daß wir anstelle von (4) erhalten: (5) J,jJ(x)dJ1. x == f(x) Idetg*(u )IJ1. (W) j = ](u) IJ(u)IJ1.
Aktualisiert: 2023-02-01
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Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche Integral im R behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von "Analysis 1" folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenhänge, Ausblicke und die Entwicklung der Analysis gelegt. Zu den Besonderheiten, die über den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, gehören das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?-Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Zahlreiche Beispiele, Übungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab. Der Abschnitt "Lösungen und Lösungshinweise" wurde für die Neuauflage wesentlich erweitert, so daß die überwiegende Zahl der Aufgaben im Buch nun besprochen oder vollständig gelöst wird.
Aktualisiert: 2023-04-01
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Das vorliegende Buch ist der erste Band eines zweibändigen Werkes über Analysis und behandelt die Funktionen einer reellen Veränderlichen. In der komplexen Analysis beschränkt es sich im wesentlichen auf Potenzreihen. Es enthält insbesondere den Stoff, welcher üblicherweise im ersten Semester einer einführenden Analysis-Vorlesung für Mathematiker, Physiker und Informatiker geboten wird, und geht an einigen Stellen darüber hinaus. Das Buch wendet sich an Studenten, denen es sich als ein hilfreicher Begleiter der Vorlesung und eine Quelle zur Vertiefung des Gegenstandes anbietet, an die im Beruf stehen den Mathematiker, besonders an die Lehrer an weiterführenden Schulen, und schließlich an alle, die etwas über die Analysis und ihre Bedeutung im größeren naturwissenschaftlichen und kulturellen Zusammenhang erfahren möchten. Damit sind wir bei einem wesentlichen Anliegen der Lehrbuchreihe "Grundwissen Mathematik", dem historischen Bezug. Die mathematischen Be griffe und Inhalte der Analysis sind nicht vom Himmel der reinen Erkenntnis gefallen, und kein Denker im Elfenbeinturm hat sie ersonnen. Die europäische Geistesgeschichte beginnt dort, wo Natur nicht mehr als rätselhaftes, von un heimlichen höheren Mächten gesteuertes Geschehen, sondern als rational erklärbar verstanden wird: bei den jonischen Philosophen des 6. vorchrist lichen Jahrhunderts. Die Analysis ist entstanden in der Verfolgung dieses Zie les, die Welt rational zu durchdringen und ihre Gesetzmäßigkeiten zu finden. Ihre Geschichte ist ein Stück Kulturgeschichte.
Aktualisiert: 2022-08-16
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"Wodurch unterscheidet sich das hiermit begonnene Lehrwerk der Analysis von zahlreichen anderen, zum Teil im gleichen Verlag erschienenen, exzellenten Werken dieser Art? Mehreres ist zu nennen: (1) die ausführliche Berücksichtigung des Warum und Woher, der historischen Gesichtspunkte also, die in unserem von der Ratio geprägten Zeitalter ohnehin immer zu kurz kommen; (2) die Anerkennung der Existenz des Computers. Der Autor verschließt sich nicht vor der Tatsache, daß die Computermathematik (hier vor allem verstanden als numerische Mathematik) oft interessante Anwendungen der klassischen Analysis bietet. Als weitere attraktive Merkmale des Buches nennen wir (3) die große Fülle von Beispielen und nicht-trivialen (aber lösbaren) Übungsaufgaben, sowie (4) der häufige Bezug zu den Anwendungen. Man denke: Sogar die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, vor der manche Lehrbuchautoren eine unüberwindliche Scheu zu haben scheinen, ist gut lesbar dargestellt, mit vernünftigen Anwendungen. Alles in allem kann das Buch jedem Studierenden der Mathematik wegen der Fülle des Gebotenen und wegen des geschickten didaktischen Aufbaus auf das Wärmste empfohlen werden."
Aktualisiert: 2023-03-14
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Aktualisiert: 2022-08-18
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"Wodurch unterscheidet sich das hiermit begonnene Lehrwerk der Analysis von zahlreichen anderen, zum Teil im gleichen Verlag erschienenen, exzellenten Werken dieser Art? Mehreres ist zu nennen: (1) die ausführliche Berücksichtigung des Warum und Woher, der historischen Gesichtspunkte also, die in unserem von der Ratio geprägten Zeitalter ohnehin immer zu kurz kommen; (2) die Anerkennung der Existenz des Computers. Der Autor verschließt sich nicht vor der Tatsache, daß die Computermathematik (hier vor allem verstanden als numerische Mathematik) oft interessante Anwendungen der klassischen Analysis bietet. Als weitere attraktive Merkmale des Buches nennen wir (3) die große Fülle von Beispielen und nicht-trivialen (aber lösbaren) Übungsaufgaben, sowie (4) der häufige Bezug zu den Anwendungen. Man denke: Sogar die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, vor der manche Lehrbuchautoren eine unüberwindliche Scheu zu haben scheinen, ist gut lesbar dargestellt, mit vernünftigen Anwendungen. Alles in allem kann das Buch jedem Studierenden der Mathematik wegen der Fülle des Gebotenen und wegen des geschickten didaktischen Aufbaus auf das Wärmste empfohlen werden."
Aktualisiert: 2023-03-14
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Dieses Buch ist entstanden aus Vorlesungen, die ich zum Teil in Basel und in Stanford, dann wiederholt an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich gehalten habe. Mein Ziel war es, die Infinitesimalrechnung (den "Calculus") und die Grundlagen der Analysis in der Weise nebeneinander zu entwickeln, daß die aUge meinen Sätze der Grundlagen laufend an konkreten Beispielen und Anwendungen erprobt werden können. Dabei habe ich mich bemüht, die zentralen Begriffe und Sätze jeweils in anschaulicher Sprache vorzubereiten und zu motivieren. Entscheidend ist die Frage des richtigen Maßes an mathemati scher Strenge, Allgemeinheit und Abstraktion. Abgesehen von den logischen und arithmetischen Grundlagen, wo ich mich auf einen "naiven" Standpunkt gestellt habe, bin ich darauf ausgewesen, eine strenge oder eben: eine richtige Analysis abzuliefern. Dieses Vor haben ist zu Beginn einfach, wird aber zusehends schwieriger, da die betrachteten Situationen immer komplizierter und in der geometri schen Beschreibung aufwendiger werden. An Allgemeinheit habe ich soviel eingebaut, wie ein Student in den ersten Studienjahren (und manch einer im ganzen Leben) vernünftiger Weise braucht. Auf das Lebesguesche Integral und den schiefen Differentialkalkül wurde also verzichtet; dafür findet man z. B. eine ausführliche Technik des Integrierens und eine modeme Darstellung der Vektoranalysis, wie sie vom Physiker, aber auch vom Ingenieur benötigt wird. Immerhin war ich bestrebt, von Anfang an mit den richtigen und über diese "Analysis" hinaus fruchtbaren Begriffen zu arbeiten; dabei wurde ein höheres Niveau der Abstraktion gerne in Kauf ge nommen, wenn das Wesentliche dafür besser zur Geltung kam.
Aktualisiert: 2023-01-31
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Aktualisiert: 2023-01-28
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"Wodurch unterscheidet sich das hiermit begonnene Lehrwerk der Analysis von zahlreichen anderen ... exzellenten Werken dieser Art? ... (1) die ausführliche Berücksichtigung des Warum und Woher, der historischen Gesichtspunkte ...; (2) die Anerkennung der Existenz des Computers. Der Autor verschließt sich nicht vor der Tatsache, daß die Computermathematik (hier vor allem verstanden als numerische Mathematik) oft interessante Anwendungen der klassischen Analysis bietet. ... (3) die große Fülle von Beispielen und nicht-trivialen (aber lösbaren) Übungsaufgaben, sowie (4) der häufige Bezug zu den Anwendungen. ... Sogar die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, vor der manche Lehrbuchautoren eine unüberwindliche Scheu zu haben scheinen, ist gut lesbar dargestellt, mit vernünftigen Anwendungen. ... kann das Buch jedem Studierenden der Mathematik wegen der Fülle des Gebotenen und wegen des geschickten didaktischen Aufbaus auf das Wärmste empfohlen werden."
Aktualisiert: 2022-04-01
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Aktualisiert: 2023-04-02
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Aktualisiert: 2023-04-03
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Aktualisiert: 2022-08-18
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Der Aufbau des Buches orientiert sich an dem Standardwerk zur Analysis 1 und 2 von O. Forster.
Aktualisiert: 2023-04-07
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Dieses Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im WS 1970/71 für Studenten der Mathematik und Physik des ersten Semesters an der Universität Regensburg gehalten habe. Diese Ausarbeitung wurde später von verschiedenen Kollegen als Begleittext zur Vorlesung benutzt. Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analysis· Kurse des ersten Semesters an deutschen Universitäten und Technischen Hoch schulen. Bei der Stoffauswahl wurde angestrebt, dem konkreten mathematischen Inhalt, der auch für die Anwendungen wichtig ist, vor einem großen abstrakten Begriffsapparat den Vorzug zu geben und dabei gleichzeitig in systematischer Weise möglichst einfach und schnell zu den grundlegenden Begriffen (Grenzwert, Stetigkeit, Differentiation, Riemannsches Integral) vorzudringen und sie mit vielen Beispielen zu illustrieren. Deshalb wurde auch die Einführung der elemen taren Funktionen vor die Abschnitte über Differentiation und Integration gezogen, um dort genügend Beispielmaterial zur Verfligung zu haben. Auf die numerische Seite der Analysis (Approximation von Größen, die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden können) wird an verschiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu machen. Der Umfang des Stoffes ist so angelegt, daß er in einer vierstündigen Vorlesung in einem Wintersemester durchgenommen werden kann. Die einzelnen Para graphen entsprechen je nach Länge einer bis zwei Vorlesungs-Doppelstunden. Bei Zeitmangel können die §§ 17 und 23 sowie Teile der §§ 16 (Konvexität) und 20 (Gamma-Funktion) weggelassen werden. Für seine Unterstützung möchte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken. Er hat die seinerzeitige Vorlesungs-Ausarbeitung geschrieben, beim Lesen der Korrek turen geholfen und das Namens-und Sachverzeichnis erstellt. o.
Aktualisiert: 2023-01-31
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