Es führt ein anschaulicher, höchst anregender Weg von den Apolloniuskreisen durch die Kegelschnitte zur harmonischen Spiegelung. In den Apolloniuskreisen begegnen und verbinden sich euklidische und projektive Geometrie. Als geometrischer Ort aller Punkte mit konstantem Abstandsverhältnis zu zwei festen Punkten, den beiden Brennpunkten, kann man sie im Sinne der euklidischen Geometrie betrachten. Man stößt dabei auf die harmonische Lage der inneren und äußeren Teilpunkte in bezug auf die Brennpunkte. Die Gesamtheit aller Apolloniuskreise läßt übersichtlich die harmonische Involution der Teilpunkte erleben. Harmonische Lage und harmonische Involution sind auch wichtigste Grundbegriffe der projektiven Geometrie. Diese und andere Zusammenhänge, bis zu jener überraschenden Entdeckung Astrid Baumanns, daß Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln sich als Hüllkurven von Apolloniuskreisen erzeugen lassen, werden Schritt für Schritt entwickelt und durchsichtig gemacht.
Aktualisiert: 2023-06-01
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Es führt ein anschaulicher, höchst anregender Weg von den Apolloniuskreisen durch die Kegelschnitte zur harmonischen Spiegelung. In den Apolloniuskreisen begegnen und verbinden sich euklidische und projektive Geometrie. Als geometrischer Ort aller Punkte mit konstantem Abstandsverhältnis zu zwei festen Punkten, den beiden Brennpunkten, kann man sie im Sinne der euklidischen Geometrie betrachten. Man stößt dabei auf die harmonische Lage der inneren und äußeren Teilpunkte in bezug auf die Brennpunkte. Die Gesamtheit aller Apolloniuskreise läßt übersichtlich die harmonische Involution der Teilpunkte erleben. Harmonische Lage und harmonische Involution sind auch wichtigste Grundbegriffe der projektiven Geometrie. Diese und andere Zusammenhänge, bis zu jener überraschenden Entdeckung Astrid Baumanns, daß Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln sich als Hüllkurven von Apolloniuskreisen erzeugen lassen, werden Schritt für Schritt entwickelt und durchsichtig gemacht.
Aktualisiert: 2023-05-31
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Es führt ein anschaulicher, höchst anregender Weg von den Apolloniuskreisen durch die Kegelschnitte zur harmonischen Spiegelung. In den Apolloniuskreisen begegnen und verbinden sich euklidische und projektive Geometrie. Als geometrischer Ort aller Punkte mit konstantem Abstandsverhältnis zu zwei festen Punkten, den beiden Brennpunkten, kann man sie im Sinne der euklidischen Geometrie betrachten. Man stößt dabei auf die harmonische Lage der inneren und äußeren Teilpunkte in bezug auf die Brennpunkte. Die Gesamtheit aller Apolloniuskreise läßt übersichtlich die harmonische Involution der Teilpunkte erleben. Harmonische Lage und harmonische Involution sind auch wichtigste Grundbegriffe der projektiven Geometrie. Diese und andere Zusammenhänge, bis zu jener überraschenden Entdeckung Astrid Baumanns, daß Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln sich als Hüllkurven von Apolloniuskreisen erzeugen lassen, werden Schritt für Schritt entwickelt und durchsichtig gemacht.
Aktualisiert: 2023-05-22
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Arnold Bernhards entwickelnde Hinführung zu den Grundlagen der projektiven Geometrie bildet in ihrer didaktischen, konstruktiven Konsequenz eine erstklassige Vorlage für die Ausbildung eines reinen, aber zugleich inhaltlichen Denkens.
Aktualisiert: 2022-09-14
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Arnold Bernhard gibt einen klaren methodischen und anschaulichen Aufbau der ersten geomentrischen Kenntnisse vom freien geometrischen Zeichnen bis zur exakten Beweisführung elementarer und tiefliegender Sätze.
Aktualisiert: 2022-11-18
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Seien Sie Schüler, Lehrer oder einfach an der Geometrie Interessierter - dieses Buch möchte Sie einen Weg führen, einen Weg zum Erleben des reinen Denkens. Wir sind es im Alltag gewöhnt, mit allerlei geometrischen Körpern umzugehen, mit Schachteln, Bällen, Blumentöpfen. Fast immer handhaben wir sie, ohne uns bewußt Gedanken über sie zu machen. Hie und da stellen sie uns vor praktische Probleme, welche unser geometrisches Denken herausfordern. Aber das geometrische Wissen, das es zur Lösung dieser Alltagsprobleme braucht, haben wir uns schon lange angeeignet. Wissen wir damit schon alles, was man über diese Körper wissen kann? Nein, bei weitem nicht!
Aktualisiert: 2019-05-23
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Diese Schrift ist geeignet, Leser, welche Grundkenntnisse in projektiver Geometrie haben (zentrale Kollineation, Polarsystem am Kreis) in gewisse nichteuklidische Geometrien, nämlich in die hyperbolische, polarhyperbolische, elliptische und polaraffine Geometrie einzuführen. Es ist ein besonders bedeutsamer Schritt der Entwicklung der Geometrie gewesen, als im 19. Jahrhundert andere als die seit mehr als zwei Jahrtausenden gepflegte euklidische Geometrie gedacht wurden. Die innere Richtigkeit dieser nichteuklidischen Geometrie muss ganz in der Gedankenanschauung erlebt werden. Diese Gedankenanschauung an wichtigen Grundkonstruktionen konkret zu üben, ist das Grundanliegen der Hauptkapitel dieser Schrift.
Aktualisiert: 2022-07-11
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Warum gibt minus mal minus plus? Wenn Jugendliche ein wirkliches Verständnis mathematischer Zusammenhänge bekommen sollen, so müssen die Schritte auf dem Weg zur Einsicht wohl überlegt und geübt werden. Nur dann wirkt der Mathematikunterricht klärend und bildend auf den heranwaschenden Menschen. Arnold Bernhard hat als erfahrener Mathematiklehrer und Pädagoge einen ausführlichen Leitfaden für den Mathematikunterricht der Mittelstufe, insbesondere der 7. und 8. Klassen an Waldorfschulen geschrieben. Er führt in den Umgang mit negativen Zahlen ein, macht den Ubergang vom numerischen zum algebraischen Rechnen einsichtig und erklärt den Vorgang der algebraischen Division - um nur einige Themen zu nennen.
Aktualisiert: 2023-01-13
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