Gruppentheorie

Vorwort
Die erste Bekanntschaft mit der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra hat der Autor
an der Technischen Hochschule München im physikalisch-chemischen und elektrochemischen
Institut von Professor E. Ruch gemacht, wo er auch seine Diplomarbeit mit dem
Titel „Beiträge zum Problem der Induktion von Darstellungen endlicher Gruppen“ angefertigt
hat. Seitdem hat ihn das Gebiet der Gruppentheorie immer wieder in seinen Bann gezogen, so
dass er schließlich zum Entschluss gekommen ist, seine Kenntnisse in diesem Buch niederzuschreiben.
Natürlich übersteigt diese Darstellung in Inhalt und Konzeption die damalige
Diplomarbeit, aus deren einleitender Problemstellung folgendes zitiert sei:
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung eines physikalischen Systems lautet bekanntlich:
Hψ = Eψ. Besitzt der Hamiltonoperator H eine Symmetriegruppe , dann können die
Eigenwerte E entartet sein: H(Rψ) = RHψ = REψ = E(Rψ); für alle R . Die Eigenfunktionen
ψ, die zum gleichen Energieeigenwert E gehören, spannen einen linearen Raum
(Modul) auf, dessen Dimension gleich der Vielfachheit der Entartung des Energieeigenwertes
E ist. Dieser Modul vermittelt eine Darstellung der Symmetriegruppe des Hamiltonoperators
H. Diese Darstellung kann dann als Klassifikation der Energie E dienen.
Wird die Symmetrie eines physikalischen Systems erhöht oder erniedrigt, dann wird die
Entartung des Energieeigenwertes im Allgemeinen zunehmen bzw. abnehmen. Dabei werden
die Darstellungsmoduln und Darstellungen der neuen Symmetriegruppe des Hamiltonoperators
in einer bestimmten Weise mit den Darstellungsmoduln und Darstellungen der
ursprünglichen Symmetriegruppe des Hamiltonoperators zusammenhängen. Der Übergang
von der Darstellung einer Gruppe zur Darstellung einer ihrer Untergruppen wird als
Subduktion und der Übergang von der Darstellung einer Gruppe zur Darstellung einer ihrer
Obergruppen als Induktion bezeichnet.
In dem vorliegenden Buch werden die Subduktion und die Induktion von Gruppen behandelt
und zum besseren Verständnis in einen größeren Zusammenhang mit den angrenzenden
Gebieten der Gruppentheorie gestellt. So werden anfangs die Permutationsgruppen behandelt,
in die sich nach A. Cayley jede endliche Gruppe isomorph abbilden lässt. Viele Beispiele
beziehen sich auf die Permutationsgruppen, so dass ihre eingehende Behandlung zweckmäßig
erscheint. Danach werden Eigenschaften spezieller Gruppen und Untergruppen untersucht
und die Untergruppen einer Gruppe in einem Verband übersichtlich angeordnet. Gefolgt wird
diese einführende Abhandlung von den Selbstabbildungen einer Gruppe, insbesondere von
deren automorphen Abbildungen, die selbst eine Gruppe bilden. Nachfolgend wird ein
Überblick über die Darstellungstheorie gegeben, die ein zentrales Teilgebiet der Gruppentheorie
ist und vielfache Anwendung in den Naturwissenschaften findet. Schließlich werden
in den beiden letzten Kapiteln die Subduktion und Induktion behandelt, unter besonderer
Berücksichtigung der Moduln, in denen sich die Gruppen darstellen lassen. Den engen
Zusammenhang von Subduktion und Induktion vermittelt das Reziprozitätstheorem von F.G.
Frobenius. Dieses Theorem findet auch unmittelbar in der Physik Anwendung. Mit seiner
Hilfe lässt sich z.B. das Jahn-Teller-Theorem ohne die Notwendigkeit einer detaillierten
Diskussion einzelner Symmetrien und deren Realisierungsmöglichkeiten in Molekülen
beweisen (Theor.chim.acta (Berlin) 3,291-304, 1965). Im Anhang sind die Gruppentafeln von
verschiedenen Gruppenpaaren und deren Subduktion und Induktion aufgeführt.