Stetige äußere Subdifferentiale und deren Anwendung zur Optimierung lokal Lipschitz-stetiger Funktionen
Martin Knossalla
In dieser Arbeit wird eine neue Strategie zur Lösung von Optimierungsproblemen mit lokal Lipschitz-stetiger Zielfunktion vorgestellt. Wir werden insbesondere nicht voraussetzen, dass die Zielfunktion semismooth ist.
Die Grundlage dieser Strategie bilden die sogenannten stetigen äußeren Subdifferentiale, die den mangelnden Informationsgehalt eines Subdifferentials beheben. Es wird ein Abstiegsverfahren basierend auf diesen äußeren Subdifferentialen entwickelt und dessen Konvergenz bewiesen. In diesem Zusammenhang wird untersucht, welche Eigenschaften eines Subdifferentials essentiell zur Optimierung nichtdifferenzierbarer Funktionen sind, und damit wird die Frage nach einer geeigneten Wahl eines Subdifferentials beantwortet.
Ein weiterer Abschnitt der Arbeit widmet sich der Konstruktion stetiger äußerer Subdifferentiale. Dabei nimmt die Klasse der Optimalwertfunktionen einen besonderen Stellenwert ein. Die bei der Konstruktion zum Vorschein kommenden Schwierigkeiten werden anhand akademischer Beispiele diskutiert.
Im letzten Abschnitt der Arbeit wird ein neues Verfahren zur Minimierung lokal Lipschitz-stetiger Optimalwertfunktionen vorgestellt (BTO). Die Grundlage bilden Bundle-Trust-Region-Ideen der nichtglatten, konvexen Optimierung und die Armijo-Regel zur Bestimmung einer geeigneten Schrittweite in der glatten Optimierung. Von Bundle- Trust-Region-Verfahren wird die Idee zur Bildung einer Modellfunktion adaptiert, die auf den in dieser Arbeit zuvor eingeführten approximativen stetigen äußeren Subdifferentialen basiert.
Wir verallgemeinern weiterhin die Strategie zur Anpassung des Trust-Region-Radius und präsentieren ein neues Verfahren zur sukzessiven Verbesserung der Modellfunktion. Abschließend wird die globale Konvergenz des BTO-Verfahrens bewiesen.
