Zur Rechtfertigung dieser Edition von Dedekinds berühmtem elften Supplement zu Dirichlets "Vorlesungen über Zahlentheorie" kann ich keine besseren Worte finden als die von Dedekind selbst am Schluß seines Vorworts zur zweiten Auflage dieser "V orlesungen" (1871): "Endlich habe ich mich bemüht, überall, wo es mir möglich war, auf die Quellen zu verweisen, um den Leser zum Studium der Original werke zu veranlassen und in ihm ein Bild von den Fortschritten der Wissenschaft zu erwecken, deren ebenso tiefe wie erhabene Wahrheiten einen Schatz bilden, welcher die unvergängliche Frucht eines wahrhaft edelen Wett kampfes der europäischen Völker ist. " Das elfte Supplement, das zuerst in der dritten Auflage erschien, war eine Neufassung eines bedeutenden Abschnittes (§§ 159-170) des zehnten Supplementes der zweiten Auflage. Über diesen Abschnitt schreibt Dedekind im Vorwort zur zweiten Auflage: "Endlich habe ich in dieses Supplement eine allgemeine Theorie der Ideale aufgenommen, um auf den Hauptgegenstand des ganzen Buches von einem höheren Standpunkte aus ein neues Licht zu werfen; hierbei habe ich mich freilich auf die Darstellung der Grundlagen beschränken müssen, doch hoffe ich, daß das Streben nach charakteristischen Grund begriffen, welches in anderen Teilen der Mathematik mit so schönen Erfolgen gekrönt ist, mir nicht ganz mißglückt sein möge. " Schon vor Dedekind hatte Kronecker eine Idealtheorie der algebraischen Zahlkörper entwickelt, aber die Dedekindsche Theorie ist unabhängig von der Kroneckerschen entstanden.
Aktualisiert: 2023-01-31
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Aktualisiert: 2022-04-01
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Aktualisiert: 2023-02-02
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Aktualisiert: 2023-04-07
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Aus der Arithmetik der binären quadratischen Formen, die Gauß in abgeschlossener Form in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte, erwuchsen zwei Disziplinen, die Lehre von den quadra tischen Formen beliebiger Variablenzahl auf der einen Seite und die .-\rithmetik der algebraischen Zahlkörper und weiter die der hyper komplexen Systeme auf der anderen. Noch im Jahre 1898, als P. Bachmann seine groß angelegte "Arithmetik der quadratischen Formen" (I. Abt. Leipzig 1898, II. Abt. Leipzig 192:1) schrieb, hielten sich beide im Umfang und in der Wertschätzung der Mathematiker die Waage. In den nachfolgenden Jahren änderten sich die Verhält nisse grundlegend; die letztgenannte Disziplin nahm deutlich die Vor rangstellung ein. Die Ursache hierfür war die Tatsache, daß es gelang, die gesamte Forschung auf dem Gebiet der Zahlkörper und Algebren im Grunde einer einzigen zentralen Aufgabe zu unterstellen: dem Auf bau dieser Gebilde aus elementaren Bausteinen. Es unterliegt keinem Zweifel, daß eine so geartete Problemstellung der Frage nach dem Sinn und ·wesen des Zahlbegriffs näher kommt als die Gewinnung spezieller Einzelresultate. Erst die Arbeiten von H. Hasse, E. Hecke und C. L. Siegel in den letzten Jahrzehnten haben auch auf dem Gebiet der quadra tischen Formen einer ähnlichen Wendung zum Grundsätzlichen hin zum Durchbruch verholfen, die sich hier nur langsam vorbereitet hatte. Die Primzahlen erweisen sich heute hier wie bei den Zahlkörpern als der Schlüssel zum Verständnis der ganzen Theorie. Es ist das Ziel des vor liegenden Buches, einen weiteren Leserkreis mit diesen neuen Gedanken vertraut zu machen.
Aktualisiert: 2023-04-07
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Aktualisiert: 2023-04-04
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Aktualisiert: 2023-04-04
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Zur Rechtfertigung dieser Edition von Dedekinds berühmtem elften Supplement zu Dirichlets "Vorlesungen über Zahlentheorie" kann ich keine besseren Worte finden als die von Dedekind selbst am Schluß seines Vorworts zur zweiten Auflage dieser "V orlesungen" (1871): "Endlich habe ich mich bemüht, überall, wo es mir möglich war, auf die Quellen zu verweisen, um den Leser zum Studium der Original werke zu veranlassen und in ihm ein Bild von den Fortschritten der Wissenschaft zu erwecken, deren ebenso tiefe wie erhabene Wahrheiten einen Schatz bilden, welcher die unvergängliche Frucht eines wahrhaft edelen Wett kampfes der europäischen Völker ist. " Das elfte Supplement, das zuerst in der dritten Auflage erschien, war eine Neufassung eines bedeutenden Abschnittes (§§ 159-170) des zehnten Supplementes der zweiten Auflage. Über diesen Abschnitt schreibt Dedekind im Vorwort zur zweiten Auflage: "Endlich habe ich in dieses Supplement eine allgemeine Theorie der Ideale aufgenommen, um auf den Hauptgegenstand des ganzen Buches von einem höheren Standpunkte aus ein neues Licht zu werfen; hierbei habe ich mich freilich auf die Darstellung der Grundlagen beschränken müssen, doch hoffe ich, daß das Streben nach charakteristischen Grund begriffen, welches in anderen Teilen der Mathematik mit so schönen Erfolgen gekrönt ist, mir nicht ganz mißglückt sein möge. " Schon vor Dedekind hatte Kronecker eine Idealtheorie der algebraischen Zahlkörper entwickelt, aber die Dedekindsche Theorie ist unabhängig von der Kroneckerschen entstanden.
Aktualisiert: 2023-04-04
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