Aktualisiert: 2023-07-03
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Mengenlehre und ihre Logik
Schlüsselwort: Cantor
Mengenlehre und ihre Logik
Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre
Dieser Band enthält die Vorlesung , die Karl Weierstraß im Sommersemester 1886 an der Berliner Universität gehalten hat. Sie war von ihm als Ergänzung seiner turnusmäßigen Vorlesung "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen" konzipiert worden, und er hielt sie nur dieses eine Mal. Inhaltliche Schwerpunkte sind der Weierstraßsche Approximationssatz (mit Verallgemeinerungen auf unstetige Funktionen mittels des Cantorschen Begriffs des äußeren Inhalts einer beschränkten Punktmenge) und eine Einführung in die Theorie der Weierstraßschen "analytischen Gebilde". Der editierte Text, dem eine Autobiographie zugrunde liegt, enthält zahlreiche historische und methodologische Reflexionen. Die Vorlesung, der Kommentar des Herausgebers sowie die vier im Anhang enthaltenen fotomechanischen Nachdrucke von Arbeiten der Jahre 1857 bis 1880 verdeutlichen in besonderem Maße Weierstraß' Beitrag zur strengen Begründung der Analysis.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre
Dieser Band enthält die Vorlesung , die Karl Weierstraß im Sommersemester 1886 an der Berliner Universität gehalten hat. Sie war von ihm als Ergänzung seiner turnusmäßigen Vorlesung "Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen" konzipiert worden, und er hielt sie nur dieses eine Mal. Inhaltliche Schwerpunkte sind der Weierstraßsche Approximationssatz (mit Verallgemeinerungen auf unstetige Funktionen mittels des Cantorschen Begriffs des äußeren Inhalts einer beschränkten Punktmenge) und eine Einführung in die Theorie der Weierstraßschen "analytischen Gebilde". Der editierte Text, dem eine Autobiographie zugrunde liegt, enthält zahlreiche historische und methodologische Reflexionen. Die Vorlesung, der Kommentar des Herausgebers sowie die vier im Anhang enthaltenen fotomechanischen Nachdrucke von Arbeiten der Jahre 1857 bis 1880 verdeutlichen in besonderem Maße Weierstraß' Beitrag zur strengen Begründung der Analysis.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Mathematische Modelle des Kontinuums
Wandlungen des mathematischen Denkens
Diese Schrift ist aus Vorlesungen entstanden, die für einen weiten Kreis von Studierenden bestimmt waren. Nicht nur die Mathematiker sollten einen überblick bekommen über die Fülle der Probleme, die die mathe= matische Grundlagenforschung stellt. Es sollte versucht werden, im Rahmen des "studium generale" das Verständnis für die "mathematische Denkweise" bei Studierenden anderer Fachrichtungen zu wecken. Und so soll auch in diesem Buch eine Sprache gesprochen werden, die interessierten Nichtmathematikern verständlich sein kann. Freilich - da unsere Aufgabe uns von der Ideenwelt Platons und den Beweisen Euklids bis an die modernen Entscheidungsprobleme führt, muß schon mit der Bereitschaft des Lesers gerechnet werden, ernsthaft mitzudenken und vielleicht auch hier und da etwas verschüttetes Schulwissen auszugraben. Mathematiker können durch diese Schrift angeregt werden, sich mit den philosophischen Fragen zu befassen, die am Rande ihrer Arbeit immer wieder auftauchen. Der kurze überblick über die Grundlagenprobleme kann natürlich dem Fachmann dieses Gebietes nichts Neues bringen. Vielleicht ist es aber doch den Studenten des ersten Semesters willkommen oder auch solchen Mathematikern, die ihr Studium vor längerer Zeit abgeschlossen haben. Die in eckigen Klammern gegebenen Zahlen verweisen auf das nach Kapiteln geordnete Literaturverzeichnis am Schluß des Buches, das zu weiterer und eindringenderer Arbeit an den Grundlagenproblemen an= regen soll. Herrn Prof. Dr. Sprague möchte ich für seine wertvollen Anregungen bei der Durchsicht des Manuskriptes danken, unserm Assistenten Herrn Michael Dörr für die Anfertigung des Registers und der Zeichnungen.
Aktualisiert: 2023-07-03
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Wandlungen des mathematischen Denkens
Diese Schrift ist aus Vorlesungen entstanden, die für einen weiten Kreis von Studierenden bestimmt waren. Nicht nur die Mathematiker sollten einen überblick bekommen über die Fülle der Probleme, die die mathe= matische Grundlagenforschung stellt. Es sollte versucht werden, im Rahmen des "studium generale" das Verständnis für die "mathematische Denkweise" bei Studierenden anderer Fachrichtungen zu wecken. Und so soll auch in diesem Buch eine Sprache gesprochen werden, die interessierten Nichtmathematikern verständlich sein kann. Freilich - da unsere Aufgabe uns von der Ideenwelt Platons und den Beweisen Euklids bis an die modernen Entscheidungsprobleme führt, muß schon mit der Bereitschaft des Lesers gerechnet werden, ernsthaft mitzudenken und vielleicht auch hier und da etwas verschüttetes Schulwissen auszugraben. Mathematiker können durch diese Schrift angeregt werden, sich mit den philosophischen Fragen zu befassen, die am Rande ihrer Arbeit immer wieder auftauchen. Der kurze überblick über die Grundlagenprobleme kann natürlich dem Fachmann dieses Gebietes nichts Neues bringen. Vielleicht ist es aber doch den Studenten des ersten Semesters willkommen oder auch solchen Mathematikern, die ihr Studium vor längerer Zeit abgeschlossen haben. Die in eckigen Klammern gegebenen Zahlen verweisen auf das nach Kapiteln geordnete Literaturverzeichnis am Schluß des Buches, das zu weiterer und eindringenderer Arbeit an den Grundlagenproblemen an= regen soll. Herrn Prof. Dr. Sprague möchte ich für seine wertvollen Anregungen bei der Durchsicht des Manuskriptes danken, unserm Assistenten Herrn Michael Dörr für die Anfertigung des Registers und der Zeichnungen.
Aktualisiert: 2023-07-03
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Maß und Kategorie
Dieses Buch behandelt hauptsächlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel für Existenzbeweise sowie Die "Dualität" zwischen Maß und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erläutert; die Analogie, die zwischen Maß und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einführung in die Grundlagen der metrischen Topologie; außerdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Maßes hergeleitet. Es zeigt sich, daß die Lebesguesche Integrationstheorie für unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern daß das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Maßtheorie und Topologie eingeführt; dies geschieht jedoch nicht nur der größeren Allgemeinheit wegen. Es erübrigt sich fast zu erwähnen, daß sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Für die hier untersuchten Probleme bietet sich in natürlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einführung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man könnte es als Ergänzung zur üblichen Grundvorlesung über reelle Analysis, als Grundlage für ein Se minar oder auch zum selbständigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Häufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Maß und Kategorie
Dieses Buch behandelt hauptsächlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel für Existenzbeweise sowie Die "Dualität" zwischen Maß und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erläutert; die Analogie, die zwischen Maß und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einführung in die Grundlagen der metrischen Topologie; außerdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Maßes hergeleitet. Es zeigt sich, daß die Lebesguesche Integrationstheorie für unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern daß das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Maßtheorie und Topologie eingeführt; dies geschieht jedoch nicht nur der größeren Allgemeinheit wegen. Es erübrigt sich fast zu erwähnen, daß sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Für die hier untersuchten Probleme bietet sich in natürlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einführung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man könnte es als Ergänzung zur üblichen Grundvorlesung über reelle Analysis, als Grundlage für ein Se minar oder auch zum selbständigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Häufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Wandlungen des mathematischen Denkens
Der Untergang von Mathemagika
Der Untergang von Mathemagika
Arbeiten zur Analysis und zur mathematischen Logik
Dieser Band enthält fotomechanische Nachdrucke klassischer Arbeiten von Giuseppe Peano zur Analysis und zur mathematischen Logik aus den Jahren 1886 bis 1899, denen für die Herausbildung der gegenwärtigen Mathematik große Bedeutung zukommt. Im Nachwort berichtet der Herausgeber über die Entstehungsgeschichte der abgedruckten Arbeiten, über deren Stellung im Gesamtwerk Peanos und über ihre Verflechtung mit der Entwicklung der Mathematik um die Jahrhundertwende. Fotos und Archivalien komplettieren das Buch. "Die mathematische Behandlung der Grundlagen der Mathematik ... ist aus der Verbindung zweier verschiedener Forschungsrichtungen ... hervorgegangen. Einerseits das Werk der Meister der Analysis und der Geometrie, sofern sie ihre Axiome formulierten und systematisierten, und das Werk von Cantor und anderen über Gebiete wie die Mengentheorie. Andererseits die symbolische Logik, die nach der notwendigen Entwicklungsperiode jetzt dank Peano und seinen Nachfolgern die technische Verwendbarkeit und logische Bündigkeit erreicht hat, die wesentlich sind für ein mathematisches Hilfsmittel zur Behandlung dessen, was bisher die Grundlagen der Mathematik gebildet hat." #1
Aktualisiert: 2023-07-02
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Satan, Cantor und die Unendlichkeit
Satan, Cantor und die Unendlichkeit
Cantor und die Franzosen
Ende des 19. Jahrhunderts, als Georg Cantor in Halle die Mengenlehre entwickelte, korrespondierte der Mathematiker lebhaft mit zahlreichen französischen Fachkollegen. Diese Briefe nimmt die Autorin zur Grundlage, um im Detail zu beschreiben, wie die Briefpartner um mathematische Begriffe gerungen haben. Eingebettet in den historischen Kontext wird so ein faszinierender Moment in der Geschichte der Mathematik wieder lebendig.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Georg Cantor
Georg Cantor
Georg Cantor
Mathematik
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