Aktualisiert: 2023-02-20
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Minimalflächen von vorgegebener topologischer Gestalt
Schlüsselwort: Minimalfläche
Differentialgeometrie
um das zur Lösung konkreter geometrischer Einzelfragen nötige Rüstzeug zu ver mitteln, ist auch stets die koordinatenmäßige Behandlung berücksichtigt. Verzichtet wurde auf den Differentialformenkalkül, doch wird der Leser keine Schwierigkeiten haben, sich diese für die moderne Differentialgeometrie wichtige Methode auf der Grundlage des Buches selbst anzueignen. In einer Einführung sollten nach meiner Ansicht nicht verschiedene methodische Ansätze verwendet werden. Der gebotene Stoff geht in Umfang und Inhalt über eine etwa vierstündige Vor lesung hinaus und gestattet den Anschluß eines weiterführenden Seminars. Die sorg fältig angebrachten zahlreichen Rückverweisungen ermöglichen es, verschiedenartige Lehrgänge aus dem Inhalt zusammen zu stellen. Freunde konkreter Geometrie wer den die Diskussionen im Anschluß an den induzierten Zusammenhang in KapitelS überschlagen, die Krümmungstheorien in Kapitel 6 nur für Hyperflächen behandeln und sich vor allem den 2-Flächen in Kapitel 7 zuwenden. Das andere Extrem ist die Auswahl eines Lehrgangs über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Geometrie; dabei kann man mit Kapitel 8 beginnen und die Rückverweisungen dazu verwenden, Beispiele für die eingeführten Begriffe bereitzustellen. Die Abschnitte 3. 3,4. 3,5. 5 und 6. 5 und das Kapitel 7 müssen nicht studiert werden, um jeweils nach folgende Abschnitte verstehen zu können, der Abschnitt 3. 5 wird erst in 8. 8 benötigt. Der Abschnitt 8. 8 ist unter Verwendung einzelner Rückverweisungen auch ohne die vorhergehenden Abschnitte des Kapitels 8 lesbar. Jedem Kapitel ist eine kurze Inhaltsübersicht vorangestellt, und jeder Abschnitt schließt mit einer Sammlung von Aufgaben zur Einübung des behandelten Stoffes.
Aktualisiert: 2022-08-15
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Anschauliche Geometrie
1932 erstmals erschienen, hat der Klassiker der Geometrie bis heute nichts von seiner Frische und Kraft eingebüßt. Die weltbekannten Autoren stellen in dem Band zugrundeliegende Leitmotive und verblüffende Zusammenhänge in der Geometrie verständlich dar. David Hilbert, dessen Ziel es war, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, schrieb im Vorwort: „Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen".
Aktualisiert: 2023-03-14
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Einführung in die Differentialgeometrie
Differentialgeometrie
Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird.
Im Laufe der Neuauflagen wurde der Text erweitert, neue Aufgaben wurden hinzugefügt und am Ende des Buches wurden zusätzliche Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Der Text wurde für die fünfte Auflage gründlich durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.
Aktualisiert: 2023-03-14
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Differentialgeometrie von Kurven und Flächen
Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und FJachen zwei Betrachtungsweisen. Die eine, die man klassische Differentialgeometrie nennen konnte, entstand zusammen mit den Anfangen der Differential-und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und FHichen. Dabei verstehen wir unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Flache in der Umgebung eines Punktes abhiingen. Die Methoden, die sich als fUr das Studium solcher Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flachen durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind. Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei untersucht man den EinfluB lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve oder Flache. Der interessanteste und reprasentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl die Untersuchung von Flachen. Beim Studium von Flachen treten jedoch in nattirlicher Weise einige 10k ale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapi tel, urn kurz auf Kurven einzugehen.
Aktualisiert: 2023-02-03
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Differentialgeometrie und Minimalflächen
Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differentialgeometrie etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst wird die Geometrie von Flächen im Raum behandelt. Hierbei wird die geometrische Anschauung des Lesers anhand vieler Beispiele gefördert, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium werden analytische Methoden entwickelt, und in diesem Zusammenhang wird auch das Plateausche Problem, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden, gelöst. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differentialgeometrie wird der Bernsteinsche Satz bewiesen. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen, einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet und einer ausführlichen Darstellung der hyperbolischen Geometrie. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden diesen Text ab, welcher durch seine Verbindung von geometrischen Konstruktionen und analytischen Methoden einem zentralen Trend der modernen mathematischen Forschung folgt. Das erste Lehrbuch, das eine gründliche Einführung in die Theorie der Minimalflächen gewährleistet.
Aktualisiert: 2022-04-01
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Differentialgeometrie und Minimalflächen
Vorlesungen über Minimalflächen
Seit den Anfängen der Theorie der Minimalflächen vor mehr als zwei Jahrhunderten sind viele große Geister aller Epochen von ihrem Reize fasziniert worden. Diese Anziehungskraft liegt nicht nur in dem geome trischen Gehalt der Theorie und in ihren inspirierenden Einwirkungen auf die Entwicklung mathematischen Gedankenguts begründet, sie er klärt sich auch durch die in der Mathematik wohl nur selten erreichte Vielschichtigkeit, mit welcher in ihr sowohl experimenteller Augenschein und die Verfolgung konkreter Einzelprobleme als auch die fortschrei tende Abstraktion ursprünglich anschaulicher Begriffe und die Durch schlagskraft allgemein anwendbarer Methoden erfolgreich zum Tragen kommen. Es bestehen innige Zusammenhänge mit der lokalen und glo balen Differentialgeometrie, mit der Funktionentheorie, der Variations rechnung und der Theorie partieller Differentialgleichungen und zugleich fruchtbare Beziehungen zu vielen mathematischen Gebieten, so etwa zur Topologie, zur Maßtheorie und zur algebraischen Geometrie. Auch der Forscher in anderen Disziplinen, beispielsweise in der Elastizitäts theorie, der Strömungslehre und in allen Gebieten, bei denen die Er scheinung der Kapillarität eine Rolle spielt, wird von seiner Vertrautheit mit Minimalflächen profitieren. Vor allem aber handelt es sich um eine ästhetisch vollkommene Materie. Mit Ausnahme einiger spärlich gehaltenen Andeutungen befaßt sich die vorliegende Monographie ausschließlich mit zweidimensionalen reellen Parameterflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Eine solche Begrenzung schien aus Platzgründen und im Hinblick auf den Wunsch nach Stoffeinheitlichkeit unerläßlich. Der Kritiker kann hier freilich jedes Wort als lästige Einschränkung empfinden, wird aber hoffentlich zugestehen, daß die schönsten Perlen der Theorie dennoch in Erscheinung treten.
Aktualisiert: 2023-04-07
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Vorlesungen Über Differentialgeometrie I
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Aktualisiert: 2022-03-07
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Vorlesungen über Höhere Geometrie
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Aktualisiert: 2023-04-06
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Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Aktualisiert: 2022-03-01
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Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie III
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Aktualisiert: 2022-03-06
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Differentialgeometrie
um das zur Lösung konkreter geometrischer Einzelfragen nötige Rüstzeug zu ver mitteln, ist auch stets die koordinatenmäßige Behandlung berücksichtigt. Verzichtet wurde auf den Differentialformenkalkül, doch wird der Leser keine Schwierigkeiten haben, sich diese für die moderne Differentialgeometrie wichtige Methode auf der Grundlage des Buches selbst anzueignen. In einer Einführung sollten nach meiner Ansicht nicht verschiedene methodische Ansätze verwendet werden. Der gebotene Stoff geht in Umfang und Inhalt über eine etwa vierstündige Vor lesung hinaus und gestattet den Anschluß eines weiterführenden Seminars. Die sorg fältig angebrachten zahlreichen Rückverweisungen ermöglichen es, verschiedenartige Lehrgänge aus dem Inhalt zusammen zu stellen. Freunde konkreter Geometrie wer den die Diskussionen im Anschluß an den induzierten Zusammenhang in KapitelS überschlagen, die Krümmungstheorien in Kapitel 6 nur für Hyperflächen behandeln und sich vor allem den 2-Flächen in Kapitel 7 zuwenden. Das andere Extrem ist die Auswahl eines Lehrgangs über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Geometrie; dabei kann man mit Kapitel 8 beginnen und die Rückverweisungen dazu verwenden, Beispiele für die eingeführten Begriffe bereitzustellen. Die Abschnitte 3. 3,4. 3,5. 5 und 6. 5 und das Kapitel 7 müssen nicht studiert werden, um jeweils nach folgende Abschnitte verstehen zu können, der Abschnitt 3. 5 wird erst in 8. 8 benötigt. Der Abschnitt 8. 8 ist unter Verwendung einzelner Rückverweisungen auch ohne die vorhergehenden Abschnitte des Kapitels 8 lesbar. Jedem Kapitel ist eine kurze Inhaltsübersicht vorangestellt, und jeder Abschnitt schließt mit einer Sammlung von Aufgaben zur Einübung des behandelten Stoffes.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Einführung in die Differentialgeometrie
Vorlesungen über Minimalflächen
Seit den Anfängen der Theorie der Minimalflächen vor mehr als zwei Jahrhunderten sind viele große Geister aller Epochen von ihrem Reize fasziniert worden. Diese Anziehungskraft liegt nicht nur in dem geome trischen Gehalt der Theorie und in ihren inspirierenden Einwirkungen auf die Entwicklung mathematischen Gedankenguts begründet, sie er klärt sich auch durch die in der Mathematik wohl nur selten erreichte Vielschichtigkeit, mit welcher in ihr sowohl experimenteller Augenschein und die Verfolgung konkreter Einzelprobleme als auch die fortschrei tende Abstraktion ursprünglich anschaulicher Begriffe und die Durch schlagskraft allgemein anwendbarer Methoden erfolgreich zum Tragen kommen. Es bestehen innige Zusammenhänge mit der lokalen und glo balen Differentialgeometrie, mit der Funktionentheorie, der Variations rechnung und der Theorie partieller Differentialgleichungen und zugleich fruchtbare Beziehungen zu vielen mathematischen Gebieten, so etwa zur Topologie, zur Maßtheorie und zur algebraischen Geometrie. Auch der Forscher in anderen Disziplinen, beispielsweise in der Elastizitäts theorie, der Strömungslehre und in allen Gebieten, bei denen die Er scheinung der Kapillarität eine Rolle spielt, wird von seiner Vertrautheit mit Minimalflächen profitieren. Vor allem aber handelt es sich um eine ästhetisch vollkommene Materie. Mit Ausnahme einiger spärlich gehaltenen Andeutungen befaßt sich die vorliegende Monographie ausschließlich mit zweidimensionalen reellen Parameterflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Eine solche Begrenzung schien aus Platzgründen und im Hinblick auf den Wunsch nach Stoffeinheitlichkeit unerläßlich. Der Kritiker kann hier freilich jedes Wort als lästige Einschränkung empfinden, wird aber hoffentlich zugestehen, daß die schönsten Perlen der Theorie dennoch in Erscheinung treten.
Aktualisiert: 2023-04-07
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Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Aktualisiert: 2023-04-06
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Anschauliche Geometrie
1932 erstmals erschienen, hat der Klassiker der Geometrie bis heute nichts von seiner Frische und Kraft eingebüßt. Die weltbekannten Autoren stellen in dem Band zugrundeliegende Leitmotive und verblüffende Zusammenhänge in der Geometrie verständlich dar. David Hilbert, dessen Ziel es war, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, schrieb im Vorwort: „Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen".
Aktualisiert: 2023-04-04
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Anschauliche Geometrie
1932 erstmals erschienen, hat der Klassiker der Geometrie bis heute nichts von seiner Frische und Kraft eingebüßt. Die weltbekannten Autoren stellen in dem Band zugrundeliegende Leitmotive und verblüffende Zusammenhänge in der Geometrie verständlich dar. David Hilbert, dessen Ziel es war, die Faszination der Geometrie zu vermitteln, schrieb im Vorwort: „Das Buch soll dazu dienen, die Freude an der Mathematik zu mehren, indem es dem Leser erleichtert, in das Wesen der Mathematik einzudringen, ohne sich einem beschwerlichen Studium zu unterziehen".
Aktualisiert: 2023-04-04
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Differentialgeometrie von Kurven und Flächen
Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und FJachen zwei Betrachtungsweisen. Die eine, die man klassische Differentialgeometrie nennen konnte, entstand zusammen mit den Anfangen der Differential-und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und FHichen. Dabei verstehen wir unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Flache in der Umgebung eines Punktes abhiingen. Die Methoden, die sich als fUr das Studium solcher Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flachen durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind. Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei untersucht man den EinfluB lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve oder Flache. Der interessanteste und reprasentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl die Untersuchung von Flachen. Beim Studium von Flachen treten jedoch in nattirlicher Weise einige 10k ale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapi tel, urn kurz auf Kurven einzugehen.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Bücher zum Thema Minimalfläche
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