Ein neuer Netzbewegungslöser für große Verformungen basierend auf der Centroidal-Voronoi-Tessellierung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Ansatz zur Simulation der Strömungen in zeitabhängigen Gebieten. Der integrale Teil der Arbeit besteht dabei in der Entwicklung einer Methode zur Bewegung von sogenannten Centroidal-Voronoi-Diagrammen zusammen mit ihren Definitionsgebieten. Ein großer Vorteil des entwickelten Algorithmus besteht in ständiger Erhaltung der Gitterqualität bei unbeschränkt großen Verformungen des darunterliegenden Rechengebietes. Ein weiterer Vorteil dieser Methode besteht darin, dass die Anzahl der Volumenelemente während der ganzen transienten Simulation konstant bleibt, womit Interpolation solcher Strömungskenngrößen wie Druck und Geschwindigkeit vermieden wird.

Zunächst werden Grundlagen und vier klassische Ansätze zur Konstruktion der Voronoi- Diagramme von nicht abgeschlossenen bzw. offenen Gebieten beschrieben. Danach wird ein im Rahmen dieser Arbeit entwickelter Algorithmus zur schnellen Aktualisierung des Voronoi- Diagramms eines Quaders vorgestellt, der das Rechengebiet komplett umhüllt. Ein weiterer Teil der Arbeit befasst sich mit Berücksichtigung nicht konvexer Strukturen des vordefinierten Gebietes. Wir verwenden eine zusätzliche triangulierte Fläche als Repräsentation des Gebietsrandes. Solche kritische Strukturen wie scharfe Kanten bzw. spitze Ecken werden in dem endgültigen Volumengitter abgebildet.

Im nachfolgenden und größten Teil dieser Arbeit wird gezeigt, wie die Centroidal-Voronoi- Diagramme dafür genutzt werden können, um sowohl eine Art Gitterbewegung herzustellen, als auch die Qualität der bewegenden Gitter aufrecht zu erhalten. Die Idee dieses Ansatz ist, dass man die zeitlich aufgelöste Simulation mit einem Centroidal-Voronoi-Gitter startet und nach jeder Randdeformation die Centroidal-Voronoi-Eigenschaft des darunterliegenden Gitters wiederherstellt. Danach werden die Algorithmen beschrieben, die zur Konstruktion der Centroidal-Voronoi- Diagramme verwendet werden. In diesem Kontext wird auch ein im Rahmen dieser Arbeit entstandener Algorithmus vorgestellt, der sowohl effizienter als die in „Acceleration schemes for computing centroidal Voronoi tessellations“ beschriebene Methode ist, als auch eine wesentlich höhere Konvergenzrate gegenüber dem klassischen Lloyd-Algorithmus hat. Mittels experimenteller Untersuchungen werden in diesem Teil der notwendige Genauigkeitsgrad der zur Approximation der Volumenintegrale verwendeten Quadraturformeln bestimmt und die Konvergenzrate des Lloyd- Algorithmus untersucht.

Ein weiterer Teil der Arbeit ist der Verwendbarkeit des entwickelten Algorithmus mit der Finite- Volume-Methode gewidmet. Hierdurch werden die sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen in ALE-Formulierung sowie die geometrischen Erhaltungsgleichungen hergeleitet. Danach wird ein Algorithmus angeboten, mit dessen Hilfe die sogenannten Netzflüsse (Engl. mesh fluxes) so berechnet werden, dass der geometrische Erhaltungssatz erfüllt ist. Denn aufgrund der Neuerzeugung der Flächenelemente ist es unmöglich mithilfe der Verschiebung der Knoten dieser Elemente die Netzflüsse zu bestimmen, wie es auch bei den klassischen Ansätzen gemacht wird (siehe „Discrete form of the GCL for moving meshes and its implementation in CFD schemes“).

Im Anschluss wird der Gesamtalgorithmus anhand einer relativ komplizierten Geometrie des Propellers in einem inkompressiblen Fluid validiert.