Robuste Schätzung von Erwartungswert und Standardabweichung

Die Schätzung des Erwartungswerts (μ) und der Standardabweichung (σ) bzw. der Varianz (σhoch2) gehört zu den elementaren Problemen der Statistik. Neben der direkten Anwendung wird die Relevanz vor allem dadurch begründet, dass viele komplexere statistische Methoden auf diesem Problem aufbauen. Unter idealen Bedingungen ist die Lösung trivial: Mit dem arithmetischen Mittel und der Stichprobenstandardabweichung existieren zwei Schätzfunktionen, die den Erwartungswert und die Standardabweichung unter beliebigen Verteilungen unverzerrt schätzen. Die Analyse einer Stichprobe von Daten erfolgt in der Regel unter der Annahme, dass die Daten unabhängig sind, keine Ausreißer enthalten (bzw. dass Ausreißer bereits vorab identifiziert und entfernt wurden) und oft unter dem Modell der Normalverteilung. Das sind genau die Voraussetzungen, unter denen das arithmetische Mittel und die Stichprobenstandardabweichung optimale Schätzer sind. In der Praxis sind derartige Modellvoraussetzungen in der Regel nicht oder nur approximativ erfüllt. Obwohl seit langem bekannt ist, dass sowohl das arithmetische Mittel als auch die Stichprobenstandardabweichung in vielen Fällen extrem sensibel bereits auf kleinste Abweichungen vom Modell reagieren, sind es auch heute noch die mit Abstand am häufigsten genutzten Schätzer für μ und σ. Der Autor gibt einen Überblick über alternative Schätzfunktionen, die robust gegen Modellverletzungen sind. In einer Simulationsstudie werden 21 Schätzer für μ und 19 Schätzer für σ hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Die Schätzfunktionen verhalten sich dabei in vielen Fällen in kleinen Stichproben anders als ihre asymptotischen Eigenschaften es vermuten lassen. Basierend auf der Simulation wird eine überschaubare Zahl an robusten Schätzern identifiziert, deren Einsatz – abhängig von der Beschaffenheit der Daten – gerade in kleinen Stichproben zu einer erheblichen Reduktion des Bias und einem Gewinn an Präzision führen kann.