Total positive Funktionen und exponentielle B-Splines in der Zeit-Frequenz-Analyse
Tobias Kloos
Die vorliegende Arbeit behandelt die Anwendung von Schoenbergs total positiven Funktionen, sowie exponentieller B-Splines in der Zeit-Frequenz-Analyse. Wir werden aufzeigen, dass sich diese Funktionen sehr gut als Fenster der Gabor-Transformation eignen und darüber hinaus anwendungsorientierte Algorithmen zur Implementierung angeben.
Nach einer kurzen Einführung in die Thematik betrachten wir zunächst die Zak-Transformierten der genannten Funktionen und charakterisieren für eine Teilklasse der total positiven Funktionen ihre Nullstellenmengen. Dies liefert bereits Gabor-Frames mit ganzzahligem oversampling und gibt Hinweise über die Existenz im Fall von rationalem oversampling. Anschließend beschäftigen wir uns mit Gabor-Systemen auf beliebigen separablen Gittern und legen einige Situationen dar, in welchen die Systeme der betrachteten Funktionen einen Frame liefern. In diesen Fällen beschreiben wir Algorithmen zur Konstruktion unendlich vieler verschiedener Duale mit kompakten Trägern, welche gegen den kanonischen Dual konvergieren. Weiter geben wir einen kurzen Einblick in die sich ergebenden Möglichkeiten zur Bildung von Gabor-Frames über nicht-separablen Gittern. Abschließend erläutern wir, wie die gewonnenen Erkenntnisse genutzt werden können, um diskrete Gabor-Frames und deren Duale zu konstruieren.
