Schlüsselwort: Divide-and-Conquer

Das Lösen der Maxwell’schen Feldgleichungen stellt Forschende unterschiedlicher Themengebiete immer wieder vor große Herausforderungen. Neben analytischen Lösungen für ”einfache Szenarien”, wie z.B. der Hohlleiter oder der dielektrische Wellenleiter, sind es vor allem die numerischen Verfahren, welche heutzutage in der Wissenschaft und Industrie Feldberechnungen komplexer Szenarien ermöglichen. Die vorliegende Arbeit stellt die zweidimensionale Scattering Element Method (SEM) als numerisches Verfahren vor. Das Hauptmerkmal dieser Methode ist, dass der zu simulierende Raum mit Streumatrizen (scattering matrices) diskretisiert wird. In der Literatur ist dieses Verfahren bisher unter der Transmission Line Matrix (TLM) (-Methode) bekannt. Bei der TLM wird die Einheitszelle mit Leitungen modelliert. In dieser Arbeit wird für die Modellierung der Einheitszelle im Frequenzbereich ein allgemeinerer Ansatz, nämlich das Abtasten einer zweidimensionalen Wellenfunktion verfolgt. Es zeigt sich dabei, dass es neben der klassischen TLM noch eine weitere valide Lösung der Einheitszelle gibt – die Wave Sampling Matrix (WSM). Die WSM und die TLM unterscheiden sich vor allem im Dispersionsverhalten voneinander. Da die WSM nicht aus einem Leitungsmodell hervorgeht und das Dispersionsverhalten der beiden Zellen unterschiedlich ist, wird die SEM als neuer Oberbegriff für diese Kategorie von numerischen Verfahren eingeführt, wobei in dieser Arbeit speziell die Frequency Domain -SEM (FDSEM) mit der WSM zum Einsatz kommt. Die SEM bzw. speziell die FDSEM bietet mit ihrem Portformalismus der Streumatrizen neue Möglichkeiten zum Lösen großskaliger Simulationen. Ein bekanntes Problem solcher Simulationen ist u.a. der enorme Speicherbedarf, der beim direkten Lösen der entsprechenden Gleichungssysteme entsteht. In dieser Arbeit wird deshalb ein Teile-und-herrsche-Ansatz verfolgt, bei dem sich der zu simulierende Bereich zunächst in beliebig viele und voneinander unabhängige Teilbereiche segmentieren lässt. Für jeden dieser Teilbereiche wird eine eigene Streumatrix – die Interface-Matrix berechnet. Sämtliche (für die Simulation notwendigen) Informationen innerhalb der Teilbereiche werden dabei auf die äußeren Ports des jeweiligen Bereiches projiziert. Mit diesem Teile-und-herrsche-Ansatz lässt sich die Matrixdimension und auch der benötigte Speicherbedarf der zu lösenden Gleichungssysteme einer FDSEM-Simulation innerhalb gewisser Grenzen auf die zu Verfügung stehende Hardware anpassen, indem die Größe der Teilbereiche entsprechend gewählt wird. Das Verfahren wird an zwei großskaligen, zweidimensionalen Feldproblemen demonstriert. Dabei liegt der Fokus stets auf einer m¨oglichst effizienten Speichernutzung. Es wird gezeigt, dass ein solches Feldproblem ohne dem Teile-und-herrsche-Verfahren ca. 64GByte installierten Arbeitsspeicher benötigt, während es mit diesem Verfahren lediglich ca. 16GByte sind. Weiterhin lassen sich mit dem Konzept der Interface-Matrizen geometrische Symmetrien der oben erwähnten Teilbereiche ausnutzen, wodurch neben dem geringen Speicherbedarf ebenfalls eine Reduzierung der Rechenzeit erzielt werden kann.