Aktualisiert: 2023-04-01
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Grenzen der Mathematik
Schlüsselwort: Forcing
Grenzen der Mathematik
Forcing
Bis in das 20. Jahrhundert hinein war es eine unausgesprochene Grundannahme der Mathematik, dass zwischen der Wahrheit und der Beweisbarkeit einer Aussage nicht unterschieden werden muss. Heute wissen wir, dass diese Sichtweise falsch ist. Es gibt Aussagen, die mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik weder bewiesen noch widerlegt werden können. Eine solche Aussage ist die Kontinuumshypothese, mit der Georg Cantor Ende des 19. Jahrhunderts ein Jahrhunderträtsel schuf.
Die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese wurde im Jahr 1963 von Paul Cohen gezeigt, mit einer völlig neuen, als Forcing bezeichneten Beweistechnik. Seitdem haben wir ein mächtiges Beweisinstrument in den Händen, mit dem sich nicht nur die Kontinuumshypothese, sondern auch zahlreiche andere mathematische Aussagen, wie z. B. das Auswahlaxiom, als unentscheidbar identifizieren lassen.
Das vorliegende Buch ist eine Einführung in die Forcing-Technik, die den Leser in die Lage versetzen soll, die bestehende Literatur zu diesem Thema leichter zu verstehen. Cohens Beweismethode wird Schritt für Schritt entwickelt und anschließend dazu verwendet, um die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese zu belegen.
Geschrieben habe ich dieses Buch für Leser, die bereits über fundierte mathematische Kenntnisse verfügen, aber keine Experten im Bereich der Mengenlehre oder Logik sind. Das Buch kann unabhängig von Vorlesungen auch zum Selbststudium genutzt werden. Alle Kapitel sind mit zahlreichen Übungsaufgaben versehen, deren Lösungen im Internet abgerufen werden können.
Aktualisiert: 2022-04-13
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Wie ich »Forcing« entdeckte
Paul Cohen (1934-2007) hat sich mit den Grundlagen der Mathematik beschäftigt. Hochtalentiert, kommunikativ und kritisch setzt er sich mit den Ergebnissen von Cantor, Gödel und Zermelo/Fraenkel auseinander. Er hinterfragt die Gültigkeit der Kontinuumshypothese und des Auswahlaxioms. Mit den üblichen Beweistechniken kommt er nicht weiter. So schafft er eine neue, abstrakte Methode, das Forcing. Für seine Ergebnisse, nämlich dass die Kontinuumshypothese und das Auswahlaxiom unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie sind, erhält er 1966 die Fieldsmedaille.
Auf der Konferenz über abelsche Gruppen und Module im Juli 2001 in Honolulu (Hawaii) gibt er nun Rückblick auf seinen Schaffensprozess. Er schildert seine Erlebnisse und Einflüsse ohne in technische Details zu gehen. Obwohl das Thema recht abstrakt ist und die Verneinung logischer Eigenschaften und Beziehungen zwischen Objekten noch abstrakter und somit (kaum) vorstellbar sind, kann wohl nur Paul Cohen mit Meisterschaft damit umgehen.
»Wie ich ›Forcing‹ entdeckte« ist ein sehr persönliches Buch, das Leserinnen und Leser sowohl fordert als auch unterhält. Es stellt die Frage nach Eigenschaften und Zusammenhang diskreter und kontinuierlicher Universen und Mengen.
Fotos von Yuichiro Yamanishi mit experimentellen Motiven greifen die Thematik der Dualität diskreter und kontinuierlicher Welten auf. Zahlreiche Abbildungen erleichtern das Verständnis. Ein Glossar erläutert die wichtigsten Begriffe.
Aktualisiert: 2019-12-13
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The Theory of Functional Grammar
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