Die Forderung nach Erziehung zum funktionalen Denken wurde erstmals im "Meraner Lehrplan " von 1905 explizit formuliert und entwickelte sich bald zum konsensfähigen Schlagwort der damaligen Reform des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts. Die "Erziehung zur Gewohnheit funktionalen Denkens " galt als Hauptaufgabe nicht nur des gymnasialen Mathematikunterrichts.
In der vorliegenden Arbeit werden grundlegende Aspekte dieses alten, jedoch nicht veralteten didaktischen Prinzips herausgearbeitet unter Berücksichtigung soziokultureller, bildungs-, schul- und mathematikhistorischer Rahmenbedingungen der "Meraner Reform ". Anhand von zeitgenössischen Beispielen wird illustriert, dass damals nicht nur irgendeine Behandlung "des " Funktionsbegriffs nach heutigem Verständnis gemeint war, sondern im wörtlichen Sinne gewisse Denkgewohnheiten, für die bewegliche, kinematische Sichtweisen von Mathematik charakteristisch sind. Auswirkungen der Meraner Ideen zum funktionalen Denken auf heutige mathematik- didaktische Entwicklungen werden an aktuellen Diskussionen um Stichworte wie operatives Prinzip, fundamentale Ideen oder interaktiv- experimentelle Computernutzung aufgezeigt.
Aktualisiert: 2023-05-15
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Die Forderung nach Erziehung zum funktionalen Denken wurde erstmals im "Meraner Lehrplan " von 1905 explizit formuliert und entwickelte sich bald zum konsensfähigen Schlagwort der damaligen Reform des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts. Die "Erziehung zur Gewohnheit funktionalen Denkens " galt als Hauptaufgabe nicht nur des gymnasialen Mathematikunterrichts.
In der vorliegenden Arbeit werden grundlegende Aspekte dieses alten, jedoch nicht veralteten didaktischen Prinzips herausgearbeitet unter Berücksichtigung soziokultureller, bildungs-, schul- und mathematikhistorischer Rahmenbedingungen der "Meraner Reform ". Anhand von zeitgenössischen Beispielen wird illustriert, dass damals nicht nur irgendeine Behandlung "des " Funktionsbegriffs nach heutigem Verständnis gemeint war, sondern im wörtlichen Sinne gewisse Denkgewohnheiten, für die bewegliche, kinematische Sichtweisen von Mathematik charakteristisch sind. Auswirkungen der Meraner Ideen zum funktionalen Denken auf heutige mathematik- didaktische Entwicklungen werden an aktuellen Diskussionen um Stichworte wie operatives Prinzip, fundamentale Ideen oder interaktiv- experimentelle Computernutzung aufgezeigt.
Aktualisiert: 2023-05-15
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Der Begriff der Abhängigkeit ist grundlegend in der Mathematik, und verschiedene Konzepte engen diese allgemeine Vorstellung ein, um für gegebene Probleme angepasste und effektive Fassungen zur Verfügung zu haben.
Die wiederholte Anwendung bei Rechnungen oder Konstruktionen von stets gleichen algebraischen Operationen führte dazu, solche algebraisch aufgebauten Terme als neue Objekte zu betrachten (Joh. Bernoulli, 1718) und schließlich als Funktionen zu bezeichnen; anders gesagt waren es die als Funktionen bezeichneten Ausdrücke, um die sich die entstehende Analysis rankte und eine neue Disziplin entstehen ließ, die Analysis. Ihre Blütezeit findet dieses algebraische Konzept in den Potenz- und Fourierreihen des 18. und beginnenden 19. Jahrhunderts (Euler, Lagrange, Fourier).
Die strenge Begründung der Analysis zieht die Zahlenwerte von Funktionen in ihre Überlegungen ein, um Konvergenz- und Darstellungsfragen zu klären (Dirichlet, Riemann). Damit treten die allgemeinen algebraischen Eigenschaften der Funktionen zurück, um lokale Gesichtspunkte hervorzuheben (Cauchy, Weierstraß). Gegenüber den durch konstruktive Einstellungen bestimmten Funktionen erscheinen zunehmend solche, die durch analytische Eigenschaften wie Stetigkeit, Integrierbarkeit und Entwickelbarkeit bestimmt sind und Klassen von Funktionen bilden (Borel, Lebesgue). Diese Klassen besitzen algebraische Strukturen, die Rechnungen ermöglichen, und eine Topologie erlaubt, auch Grenzübergänge auszuführen, mit anderen Worten sie konstituieren Funktionenräume.
Die fünfzehn Kapitel sowie der Anhang des Buches behandeln die skizzierte Entwicklung chronologisch, wobei die Darstellung quellenorientiert ist. Es gibt in jedem Kapitel ausführliche Literaturverweise und zur Vertiefung des Stoffes werden Übungsaufgaben an-geboten.
Das Buch wendet sich vornehmlich an Studenten mit Analysisausbildung (einschließlich Lehramtskandidaten), und es gibt Gymnasiallehrern zahlreiche Anregungen zur Gestaltung ihres Unterrichts. Schließlich bildet die zentrale Thematik der Mathematik auch einen Beitrag zur neueren Wissenschaftsgeschichte aus mathematischer Sicht. Darüber hinaus findet man schnell die wichtigsten Funktionsdefinitionen der letzten 300 Jahre.
Aktualisiert: 2023-03-30
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Der Begriff der Abhängigkeit ist grundlegend in der Mathematik, und verschiedene Konzepte engen diese allgemeine Vorstellung ein, um für gegebene Probleme angepasste und effektive Fassungen zur Verfügung zu haben.
Die wiederholte Anwendung bei Rechnungen oder Konstruktionen von stets gleichen algebraischen Operationen führte dazu, solche algebraisch aufgebauten Terme als neue Objekte zu betrachten (Joh. Bernoulli, 1718) und schließlich als Funktionen zu bezeichnen; anders gesagt waren es die als Funktionen bezeichneten Ausdrücke, um die sich die entstehende Analysis rankte und eine neue Disziplin entstehen ließ, die Analysis. Ihre Blütezeit findet dieses algebraische Konzept in den Potenz- und Fourierreihen des 18. und beginnenden 19. Jahrhunderts (Euler, Lagrange, Fourier).
Die strenge Begründung der Analysis zieht die Zahlenwerte von Funktionen in ihre Überlegungen ein, um Konvergenz- und Darstellungsfragen zu klären (Dirichlet, Riemann). Damit treten die allgemeinen algebraischen Eigenschaften der Funktionen zurück, um lokale Gesichtspunkte hervorzuheben (Cauchy, Weierstraß). Gegenüber den durch konstruktive Einstellungen bestimmten Funktionen erscheinen zunehmend solche, die durch analytische Eigenschaften wie Stetigkeit, Integrierbarkeit und Entwickelbarkeit bestimmt sind und Klassen von Funktionen bilden (Borel, Lebesgue). Diese Klassen besitzen algebraische Strukturen, die Rechnungen ermöglichen, und eine Topologie erlaubt, auch Grenzübergänge auszuführen, mit anderen Worten sie konstituieren Funktionenräume.
Die fünfzehn Kapitel sowie der Anhang des Buches behandeln die skizzierte Entwicklung chronologisch, wobei die Darstellung quellenorientiert ist. Es gibt in jedem Kapitel ausführliche Literaturverweise und zur Vertiefung des Stoffes werden Übungsaufgaben an-geboten.
Das Buch wendet sich vornehmlich an Studenten mit Analysisausbildung (einschließlich Lehramtskandidaten), und es gibt Gymnasiallehrern zahlreiche Anregungen zur Gestaltung ihres Unterrichts. Schließlich bildet die zentrale Thematik der Mathematik auch einen Beitrag zur neueren Wissenschaftsgeschichte aus mathematischer Sicht. Darüber hinaus findet man schnell die wichtigsten Funktionsdefinitionen der letzten 300 Jahre.
Aktualisiert: 2022-12-10
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Hans Zillmann leistet einen philosophischen Beitrag zur Frage nach den Möglichkeiten und Grenzen eines neurowissenschaftlichen Subjektbegriffs. Anhand der Symbolphilosophie Ernst Cassirers und anderer Ansätze zeigt er, dass wissenschaftliche Subjektbeschreibungen auf zwei Ebenen kontextuell sind: Sowohl das Subjekt – als Gegenstand der Forschung – als auch die neurowissenschaftliche Theoriebildung sind in einen kultur-historischen Kontext eingebettet. In der vorliegenden Schrift werden die Notwendigkeit eines ausgleichenden Dialogs zwischen Philosophie und Neurowissenschaften sowie die Kontextualität herausgearbeitet.
Aktualisiert: 2023-03-14
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In der Debatte über Status und Funktion von Erkenntnis und Wissen spielt Cassirers Kulturphilosophie der symbolischen Formen eine wichtige Rolle. Die Arbeit bildet einen Beitrag zum aktuellen , der Zweifel an der vermeintlichen Wiedereinbeziehung des Metaphysikbegriffs in Cassirers sogenanntem posthumen Denken anmelden will.
Aktualisiert: 2020-09-01
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In der Debatte über Status und Funktion von Erkenntnis und Wissen spielt Cassirers Kulturphilosophie der symbolischen Formen eine wichtige Rolle. Die Arbeit bildet einen Beitrag zum aktuellen , der Zweifel an der vermeintlichen Wiedereinbeziehung des Metaphysikbegriffs in Cassirers sogenanntem posthumen Denken anmelden will.
Aktualisiert: 2020-09-01
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In der Debatte über Status und Funktion von Erkenntnis und Wissen spielt Cassirers Kulturphilosophie der symbolischen Formen eine wichtige Rolle. Die Arbeit bildet einen Beitrag zum aktuellen , der Zweifel an der vermeintlichen Wiedereinbeziehung des Metaphysikbegriffs in Cassirers sogenanntem posthumen Denken anmelden will.
Aktualisiert: 2020-09-01
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Sprache ist zugleich Lernmedium und Lerngegenstand, insbesondere beim Aufbau eines konzeptuellen Verständnisses zu mathematischen Konzepten. Carina Zindel identifiziert vor diesem Hintergrund konzeptuelle und sprachliche Anforderungen, die Lernende beim Umgang mit funktionalen Zusammenhängen bewältigen müssen. Ihre tiefgehenden Analysen von Lernprozessen bei einem von ihr entwickelten fach- und sprachintegrierten Lehr-Lern-Arrangement geben Einblicke, wie beim Aufbau von Funktionsverständnis die konzeptuell-kognitiven und sprachlichen Prozesse miteinander verwoben sind.
Aktualisiert: 2023-04-01
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Sprache ist zugleich Lernmedium und Lerngegenstand, insbesondere beim Aufbau eines konzeptuellen Verständnisses zu mathematischen Konzepten. Carina Zindel identifiziert vor diesem Hintergrund konzeptuelle und sprachliche Anforderungen, die Lernende beim Umgang mit funktionalen Zusammenhängen bewältigen müssen. Ihre tiefgehenden Analysen von Lernprozessen bei einem von ihr entwickelten fach- und sprachintegrierten Lehr-Lern-Arrangement geben Einblicke, wie beim Aufbau von Funktionsverständnis die konzeptuell-kognitiven und sprachlichen Prozesse miteinander verwoben sind.
Aktualisiert: 2023-04-15
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Hans Zillmann leistet einen philosophischen Beitrag zur Frage nach den Möglichkeiten und Grenzen eines neurowissenschaftlichen Subjektbegriffs. Anhand der Symbolphilosophie Ernst Cassirers und anderer Ansätze zeigt er, dass wissenschaftliche Subjektbeschreibungen auf zwei Ebenen kontextuell sind: Sowohl das Subjekt – als Gegenstand der Forschung – als auch die neurowissenschaftliche Theoriebildung sind in einen kultur-historischen Kontext eingebettet. In der vorliegenden Schrift werden die Notwendigkeit eines ausgleichenden Dialogs zwischen Philosophie und Neurowissenschaften sowie die Kontextualität herausgearbeitet.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Ernst Cassirer (1874–1945) hat die strategischen Grundsatzdebatten der Philosophie in den letzten Jahrzehnten der Moderne wie wenige andere geprägt. Bekannt geworden ist Cassirer, der den Neukantianismus um den Ansatz der Kulturwissenschaft erweiterte und schließlich zu einer übergreifenden Philosophie der Kultur gelangte, insbesondere durch seine Philosophie der symbolischen Formen. Alle menschliche Erfahrung, die sich in Sprache, Mythos, Religion, Kunst und Wissenschaft niederschlägt, ist symbolisch geformt. Zwischen Ich und Welt vermitteln Formen des Sinns. Den Grundgedanken und das Lebenswerk Cassirers stellt diese Einführung verständlich dar.
Aktualisiert: 2023-03-29
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«Funktion» und «Unsicherheit» sind Begriffe, die bei der Erstellung von Praxisnormen des Umwelt- und Naturschutzes eine zunehmend wichtige Rolle spielen. Die Bedeutungen, unter denen diese Begriffe in einem ökologischen Kontext gebraucht werden, sind jedoch oft sehr unscharf, was ihre Anwendung erschwert. Ziel des Buches ist es, die theoretischen Grundlagen derselben zu beleuchten und zu ihrer effektiveren Nutzung beizutragen. Die Beiträge gehen auf eine Tagung des Arbeitskreises «Theorie» der Gesellschaft für Ökologie zurück, die sich diesen Themen aus unterschiedlichen Perspektiven annahm. Während der Funktionsbegriff diejenigen Aspekte von Natur in den Vordergrund stellt, die sich klar und eindeutig in ihren Ursache-Wirkungs-Beziehungen erfassen lassen, thematisiert Unsicherheit diejenigen Aspekte, die sich scheinbar oder tatsächlich einer solchen Formalisierung entziehen und das Potential unerwarteter und unvorhersehbarer Ereignisse und Entwicklungen darstellen. Es werden die diversen Ideen vorgestellt, die mit dem Funktionsbegriff in den Umweltwissenschaften verbunden sind und hierbei relevante Schnittstellen zwischen der Ökologie und den normativen Anteilen des Umwelt- und Naturschutzes aufgezeigt. Ebenso werden Mittel, Möglichkeiten und Grenzen der Bewältigung von Unsicherheiten dargestellt. Funktion und Unsicherheit, so machen die Beiträge dieses Buches deutlich, sind Aspekte der Natur, mit denen wir umgehen müssen, weil sich diese Polarität weder in der einen noch in der anderen Richtung auflösen läßt. Die ökologische Forschung wie der Umwelt- und Naturschutz müssen sich beidem widmen und Methoden zu einem differenzierten Umgang mit diesen Phänomenen entwickeln.
Aktualisiert: 2020-09-01
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In der philosophischen Debatte über den Status und die Funktion von Erkenntnis und Wissen spielt Ernst Cassirers Kulturphilosophie der symbolischen Formen eine wichtige Rolle. Sprache, Mythos, Wissenschaft und Kunst zählen zu den symbolischen Formen, die Cassirer untersucht, um die geistige Gestaltung des Wirklichen zu verstehen. Nahe an den Wissenschaften zeigt er, wie das Symbolische entsteht, indem dem Sinneseindruck ein Index, eine Ordnung und ein Ort zugewiesen und ein Name verliehen wird. Das Symbolische drückt eine bestimmte Orientierung, eine Grundtendenz und besondere Form des Denkens aus, auch im Feld der Begriffe der Wissenschaften. Cassirers Theorie des Symbols hat die erkenntnistheoretische Konzeption der bloßen nachahmenden Abbildung des Wirklichen überwunden. Das Erkennen hat die Funktion, der gegenständlichen Welt in ihrer komplexen Mehrdimensionalität in freier Tätigkeit des Geistes Gestalt und menschliche Bedeutung zu verleihen. Aus seiner Kritik an der aristotelischen Substanz-Ontologie und am dogmatischen Realismus entwickelt Cassirer seine funktionstheoretische Perspektive des Symbolischen, auf deren anti-deterministischer und zugleich nicht-relativistischer Basis von der epistemischen Freiheit des Menschen als animal symbolicum gesprochen werden kann.
Aktualisiert: 2023-04-07
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Die Forderung nach Erziehung zum funktionalen Denken wurde erstmals im "Meraner Lehrplan " von 1905 explizit formuliert und entwickelte sich bald zum konsensfähigen Schlagwort der damaligen Reform des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts. Die "Erziehung zur Gewohnheit funktionalen Denkens " galt als Hauptaufgabe nicht nur des gymnasialen Mathematikunterrichts.
In der vorliegenden Arbeit werden grundlegende Aspekte dieses alten, jedoch nicht veralteten didaktischen Prinzips herausgearbeitet unter Berücksichtigung soziokultureller, bildungs-, schul- und mathematikhistorischer Rahmenbedingungen der "Meraner Reform ". Anhand von zeitgenössischen Beispielen wird illustriert, dass damals nicht nur irgendeine Behandlung "des " Funktionsbegriffs nach heutigem Verständnis gemeint war, sondern im wörtlichen Sinne gewisse Denkgewohnheiten, für die bewegliche, kinematische Sichtweisen von Mathematik charakteristisch sind. Auswirkungen der Meraner Ideen zum funktionalen Denken auf heutige mathematik- didaktische Entwicklungen werden an aktuellen Diskussionen um Stichworte wie operatives Prinzip, fundamentale Ideen oder interaktiv- experimentelle Computernutzung aufgezeigt.
Aktualisiert: 2023-04-17
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