a. Die Null war lange keine Zahl, sondern symbolisierte “nichts”. Im 16. Jahrhundert wurde sie auf-grund von metaphysischen Vorbehalten gegen das Nichts zu “etwas”, einer “Zahl”, verkehrt. Da-durch wird das tertium non datur verletzt, die Bedeutung “nichts” muß beibehalten werden.
b. Das Unendlichkeitsaxiom setzt die “Zahl 0” voraus. Die wahre Bedeutung, “nichts”, widerlegt die Existenz des Transfiniten, es gilt Aristoteles’ “ein begrenztes Unendliches gibt es nicht”.
c. Sätze über “Nicht-Existenz” werden durch äquivalente Sätze über “nichts” bewiesen. Gödels Satz ist durch die “Nicht-Existenz” seines Beweises durch eine Sequenz definiert. Er wird durch “nichts” der Beweisführung, ohne Sequenz, bewiesen. Die Unvollständigkeit ist aufgehoben.
d. Seit Euklid gelten die unendliche Teilbarkeit der Strecke und unendliche Ziffernfolgen reeller Zahlen. Die unteilbare Planck-Länge widerlegt diese Annahmen. Alle reellen Zahlen sind damit rational, irrationale Zahlen existieren nicht, ebenso wenig der Limes unendlicher Folgen. Der Grenzwert wird zum Limit begrenzter Folgen, die mit einer minimalen reellen Zahl abbrechen.
e. Falsche metaphische Voraussetzungen der Grundlagen der Mathematik werden durch Kants transzendentale Kriterien ersetzt. Ein revidiertes Axiomensystem der Mengenlehre wird vorgelegt.
Aktualisiert: 2023-03-30
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Der Jenaer Rechentest (JRT) ist ein Einzeltestverfahren in vier Stufen – inhaltlich orientiert an den Klassenstufen 1 bis 4. Sein Untersuchungsgegenstand ist das basale Rechnen einschließlich seiner Voraussetzungen in der Zahlbegriffsentwicklung. Die Untersuchung erfolgt als Analyse des subjektiven Verständnisses für das Basisrechnen und dessen Grundlagen. Im Ergebnis entstehen einerseits detaillierte Aussagen zu den beim Probanden vorliegenden zahlenmathematischen Kompetenzen als Einsichten in die kardinale Logik von Zahlen und von Rechenoperationen sowie zu den rechenpraktischen Fertigkeiten des Probanden. Andererseits erfolgt eine genaue Profilierung von ggf. fehlenden, ungenügenden oder falschen Einsichten des Probanden sowie von vorliegenden Missverständnissen zu Zahlen und zum Rechnen mit ihnen.
Aktualisiert: 2020-01-01
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Aktualisiert: 2023-02-04
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Aktualisiert: 2022-08-18
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Diese Absicht wurde verstärkt durch den äußeren Umstand, daß in zunehmendem Maße Mathematikstudenten der Münchner Universität bei mir Logik als Nebenfach wählten. Da diese Kandidaten meist keine Zeit und Gelegenheit hatten, meine Veranstaltungen zu besuchen, kam der verständliche Wunsch auf, ich möge "etwas Schriftliches verfassen", das man mit nach Hause nehmen könne. Hinzu kam schließlich noch das Wissen um didaktische Nachteile vieler Logik-Bücher. In den meisten von ihnen werden nur spezielle syntaktische und semantische Verfahren behandelt. Wenn z. B. in einem Werk ausschließlich die axiomatische Methode, in einem weiteren allein das natürliche Schließen und in einem dritten nur der Kalkül der PositivfNegativ-Teile vorgeführt wird, so fällt es selbst einem routinier ten Mathematiker schwer, die Gleichwertigkeit dieser Kalkülisierungen einzusehen. Weichen dann auch noch die Systematisierungen der Se mantik erheblich voneinander ab, so wird ein Nichtmathematiker ver mutlich sogar den Eindruck gewinnen, die fraglichen Bücher handelten von verschiedenen Gegenständen. Doch dies ist nur die eine Seite der Medaille. In immer mehr Bücher, die das Wort ,Logik' im Titel tragen, werden nämlich umgekehrt mehr oder weniger ausführlich Bereiche einbezogen, die zwar für Untersuchungen zur Logik von Wichtigkeit sind, die jedoch weit über den Rahmen der Logik hinausführen, wie z. B. Rekursionstheorie, axiomatische Mengenlehre oder Hilbertsche Beweis theorie. Zieht man die Grenze einmal so weit, so ist nicht zu erkennen, warum nicht noch viel mehr einbezogen werden sollte. In zunehmendem Maße spielen z. B. algebraische Begriffe eine wichtige Rolle bei logischen Untersuchungen.
Aktualisiert: 2022-08-18
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Training Gymnasium – Latein 2. Lernjahr Das Buch umfasst den gesamten Lernstoff des 2. Lernjahrs Latein (6. Klasse Latein bzw. 7.Klasse Latein) und unterstützt bei der Wiederholung und Vertiefung. Das Buch enthält: Ausführliche Erläuterungen zu wichtigen grammatischen Themen mit prägnanten Beispielen, u.a. Passiv, PPP, Adverb, PPA, Participium coniunctum, Ablativus absolutus, Kasusfunktionen, Demonstrativpronomina, ferre und Konjunktive Zahlreiche abwechslungsreiche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Zusammenfassende Übersichtstabellen zu Konjugationen und Deklinationen sowie eine Liste unregelmäßiger Verben Ein Wörterverzeichnis zum Wiederholen und Nachschlagen der im Buch verwendeten Vokabeln Anschauliche Illustrationen und informatives Wissen über das römische Leben Zusätzlich mit MindApp: Eine Übersicht über die lateinischen Konjugationen und Deklinationen, die jederzeit auf dem Smartphone abrufbar ist. Ideal geeignet zum Üben und Wiederholen. Für jedes Themengebiet kann zudem der Lernstand festgehalten werden, sodass der Lernfortschritt sichtbar wird. ActiveBook ‒ interaktiv üben Basiswissen auch als digitaler „eText“ interaktive Übungsaufgaben sofort am Computer/Tablet lösen unmittelbare Ergebnisauswertung
Aktualisiert: 2021-10-07
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Der Jenaer Rechentest (JRT) ist ein Einzeltestverfahren in vier Stufen – inhaltlich orientiert an den Klassenstufen 1 bis 4. Sein Untersuchungsgegenstand ist das basale Rechnen einschließlich seiner Voraussetzungen in der Zahlbegriffsentwicklung. Die Untersuchung erfolgt als Analyse des subjektiven Verständnisses für das Basisrechnen und dessen Grundlagen. Im Ergebnis entstehen einerseits detaillierte Aussagen zu den beim Probanden vorliegenden zahlenmathematischen Kompetenzen als Einsichten in die kardinale Logik von Zahlen und von Rechenoperationen sowie zu den rechenpraktischen Fertigkeiten des Probanden. Andererseits erfolgt eine genaue Profilierung von ggf. fehlenden, ungenügenden oder falschen Einsichten des Probanden sowie von vorliegenden Missverständnissen zu Zahlen und zum Rechnen mit ihnen.
Aktualisiert: 2020-01-20
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Diese Absicht wurde verstärkt durch den äußeren Umstand, daß in zunehmendem Maße Mathematikstudenten der Münchner Universität bei mir Logik als Nebenfach wählten. Da diese Kandidaten meist keine Zeit und Gelegenheit hatten, meine Veranstaltungen zu besuchen, kam der verständliche Wunsch auf, ich möge "etwas Schriftliches verfassen", das man mit nach Hause nehmen könne. Hinzu kam schließlich noch das Wissen um didaktische Nachteile vieler Logik-Bücher. In den meisten von ihnen werden nur spezielle syntaktische und semantische Verfahren behandelt. Wenn z. B. in einem Werk ausschließlich die axiomatische Methode, in einem weiteren allein das natürliche Schließen und in einem dritten nur der Kalkül der PositivfNegativ-Teile vorgeführt wird, so fällt es selbst einem routinier ten Mathematiker schwer, die Gleichwertigkeit dieser Kalkülisierungen einzusehen. Weichen dann auch noch die Systematisierungen der Se mantik erheblich voneinander ab, so wird ein Nichtmathematiker ver mutlich sogar den Eindruck gewinnen, die fraglichen Bücher handelten von verschiedenen Gegenständen. Doch dies ist nur die eine Seite der Medaille. In immer mehr Bücher, die das Wort ,Logik' im Titel tragen, werden nämlich umgekehrt mehr oder weniger ausführlich Bereiche einbezogen, die zwar für Untersuchungen zur Logik von Wichtigkeit sind, die jedoch weit über den Rahmen der Logik hinausführen, wie z. B. Rekursionstheorie, axiomatische Mengenlehre oder Hilbertsche Beweis theorie. Zieht man die Grenze einmal so weit, so ist nicht zu erkennen, warum nicht noch viel mehr einbezogen werden sollte. In zunehmendem Maße spielen z. B. algebraische Begriffe eine wichtige Rolle bei logischen Untersuchungen.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Aktualisiert: 2023-04-04
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Diese Absicht wurde verstärkt durch den äußeren Umstand, daß in zunehmendem Maße Mathematikstudenten der Münchner Universität bei mir Logik als Nebenfach wählten. Da diese Kandidaten meist keine Zeit und Gelegenheit hatten, meine Veranstaltungen zu besuchen, kam der verständliche Wunsch auf, ich möge "etwas Schriftliches verfassen", das man mit nach Hause nehmen könne. Hinzu kam schließlich noch das Wissen um didaktische Nachteile vieler Logik-Bücher. In den meisten von ihnen werden nur spezielle syntaktische und semantische Verfahren behandelt. Wenn z. B. in einem Werk ausschließlich die axiomatische Methode, in einem weiteren allein das natürliche Schließen und in einem dritten nur der Kalkül der PositivfNegativ-Teile vorgeführt wird, so fällt es selbst einem routinier ten Mathematiker schwer, die Gleichwertigkeit dieser Kalkülisierungen einzusehen. Weichen dann auch noch die Systematisierungen der Se mantik erheblich voneinander ab, so wird ein Nichtmathematiker ver mutlich sogar den Eindruck gewinnen, die fraglichen Bücher handelten von verschiedenen Gegenständen. Doch dies ist nur die eine Seite der Medaille. In immer mehr Bücher, die das Wort ,Logik' im Titel tragen, werden nämlich umgekehrt mehr oder weniger ausführlich Bereiche einbezogen, die zwar für Untersuchungen zur Logik von Wichtigkeit sind, die jedoch weit über den Rahmen der Logik hinausführen, wie z. B. Rekursionstheorie, axiomatische Mengenlehre oder Hilbertsche Beweis theorie. Zieht man die Grenze einmal so weit, so ist nicht zu erkennen, warum nicht noch viel mehr einbezogen werden sollte. In zunehmendem Maße spielen z. B. algebraische Begriffe eine wichtige Rolle bei logischen Untersuchungen.
Aktualisiert: 2023-04-04
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