Ein zentraler Begriff der Informatik ist der Begriff des Algorithmus. Wir haben bereits in Band I dieses Grundkurses die Programmiersprache Modula-2 kennengelernt, die wir zum Schreiben von Programmen und damit - mehr oder weniger intuitiv - zur formalen Beschreibung von Algorithmen benutzt haben. In diesem Kapitel soll der Begriff des Algorithmus näher beleuchtet werden. Wir werden ihn hier nicht präzise definieren, denn es gibt eine Viel zahl gleichberechtigter, formaler Möglichkeiten, dies zu tun (s. Band IV dieses Grundkurses), aber wir werden uns mit dem Entwurf, den Darstellungsmög lichkeiten und wichtigen Eigenschaften von Algorithmen beschäftigen. Ganz allgemein dienen Algorithmen dazu, durch zielgerichtetes Handeln Probleme zu lösen. Ein Algorithmus legt in exakter, unmißverständlicher Weise fest, wie man für ein vorgelegtes Problem zu einer Lösung des Problems kommt, und wir beschreiben dies durch die folgende, vage Charakterisierung (eine genauere Beschreibung der Eigenschaften von Algorithmen folgt später): Ein Algorithmus ist ein exaktes Verfahren zur Lösung eines Problems. 2.1.1 Beobachtungen zu Algorithmen Mit einer Vielzahl von Algorithmen wird jeder bereits frühzeitig in seinem Leben - unabhängig von der Informatik - konfrontiert. Als Beispiele für Prob leme, die algorithmisch lösbar sind, kann man nennen: Binden eines Schnürsenkels oder einer Krawatte, Multiplikation zweier natür licher Zahlen, Bedienung eines Fahrkartenautomaten, Auswechseln von Zündkerzen, etc.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Ein zentraler Begriff der Informatik ist der Begriff des Algorithmus. Wir haben bereits in Band I dieses Grundkurses die Programmiersprache Modula-2 kennengelernt, die wir zum Schreiben von Programmen und damit - mehr oder weniger intuitiv - zur formalen Beschreibung von Algorithmen benutzt haben. In diesem Kapitel soll der Begriff des Algorithmus näher beleuchtet werden. Wir werden ihn hier nicht präzise definieren, denn es gibt eine Viel zahl gleichberechtigter, formaler Möglichkeiten, dies zu tun (s. Band IV dieses Grundkurses), aber wir werden uns mit dem Entwurf, den Darstellungsmög lichkeiten und wichtigen Eigenschaften von Algorithmen beschäftigen. Ganz allgemein dienen Algorithmen dazu, durch zielgerichtetes Handeln Probleme zu lösen. Ein Algorithmus legt in exakter, unmißverständlicher Weise fest, wie man für ein vorgelegtes Problem zu einer Lösung des Problems kommt, und wir beschreiben dies durch die folgende, vage Charakterisierung (eine genauere Beschreibung der Eigenschaften von Algorithmen folgt später): Ein Algorithmus ist ein exaktes Verfahren zur Lösung eines Problems. 2.1.1 Beobachtungen zu Algorithmen Mit einer Vielzahl von Algorithmen wird jeder bereits frühzeitig in seinem Leben - unabhängig von der Informatik - konfrontiert. Als Beispiele für Prob leme, die algorithmisch lösbar sind, kann man nennen: Binden eines Schnürsenkels oder einer Krawatte, Multiplikation zweier natür licher Zahlen, Bedienung eines Fahrkartenautomaten, Auswechseln von Zündkerzen, etc.
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Systeme paralleler Prozesse gehören seit jeher zu den reizvollsten Forschungs gegenständen der Informatik. Gleichzeitig klafft die Lücke zwischen Theorie und den Bedürfnissen des Software-Ingenieurs in kaum einem anderen Gebiet so sehr wie in diesem. Der Ingenieur benötigt wissenschaftlich fundierte Methoden zur Programmkonstruktion für - und das ist der springende Punkt - von-Neumann-Rechner; er verwendet sequentiell-algorithmische Program miersprachen, die gleichsam im Nachhinein um Konzepte der Programmierung paralleler Systeme ergänzt wurden. Der Theoretiker, der das Wesen der Parallelität zu ergründen versucht, findet andere, dazu viel besser geeignete Semantikmodelle und Maschinenarchitekturen - sofern er sich überhaupt um die praktische Umsetzbarkeit seiner Theorie kümmert. Es ist sicher nicht zu kühn, zu behaupten, daß noch wenigstens eine Dekade vergehen wird, bis nicht-von-Neumannsche Maschinen in größerem Umfang gebaut und verbreitet werden. Diese Arbeit hat deshalb zum Ziel, Methoden zur Strukturierung und zur Verifikation (verteilter) paralleler Systeme zu entwickeln, die aus sequen tiellen, auf Maschinen herkömmlicher Bauart ablaufenden Prozessen bestehen. Ich möchte allen danken, die mich unterstützt haben. Lron Treff und Franz Johann Schneider haben wesentlichen Anteil an der Implementierung des Patsy-Systems und der Entwicklung des Modulkonzepts. Prof. Dr. Uwe Ka stens hat mir wertvolle Ratschläge zur Semantik der Spezifikationssprache ge geben und mich darüber hinaus in zahlreichen Diskussionen unterstützt und motiviert. Dank gebührt besonders auch Prof. Dr. Gerhard Goos; er hat meine Aufmerksamkeit auf dieses Gebiet gelenkt, mir den für den Fortgang der Arbeit notwendigen Freiraum geschaffen und mit seiner konstruktiven Kritik sehr zur klareren Formulierung komplexer Zusammenhänge beigetragen.
Aktualisiert: 2023-07-02
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In diesem Lehrbuch werden die grundlegenden Begriffe der Theoretischen Informatik - Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, rekursive Funktionen, Regelsprachen, Turingmaschinen, Komplexität - auf der Basis der Programmiersprache PASCAL motiviert, abgeleitet und in einer einheitlichen Betrachtungsweise dargestellt. Ferner wird die Äquivalenz verschiedener Ansätze zu einer Theorie der Berechenbarkeit - Programme, rekursive Funktionen, Regelsprachen und Turingmaschinen - als weiteres zentrales Konzept herausgestellt. Während in den Kapiteln 1-7 qualitative Aspekte der Berechenbarkeit behandelt werden, ist Kapitel 8 den quantitativen Aspekten gewidmet. Die Komplexität, d.h. Zeit- bzw. Speicheraufwand für eine Berechnung, ist sowohl abhängig von dem zugrundeliegenden Berechnungsmodell als auch von dem zu lösenden Problem, da für ein bestimmtes Problem gewisse Schranken nicht unterschritten werden können. Bei einem so weitgespannten Gebiet wie der Theoretischen Informatik müssen zwangsläufig manche Einschränkungen bei der Stoffauswahl gemacht werden. So wird z.B. Semantik nur informell behandelt, Parallelität nur ansatzweise betrachtet oder Automatentheorie nur am Rand gestreift. Ziel der Stoffauswahl war es, ein möglichst umfassendes Bild der Theoretischen Informatik zu bieten und ein Fundament für weitergehende Studien zu legen. Das Buch setzt Grundkenntnisse aus den Anfängervorlesungen über Analysis und Lineare Algebra voraus. Um den Leser mit der Terminologie in diesem Buch vertraut zu machen, sind im Anhang diese mathematischen Grundlagen in knapper Form zusammengestellt.
Aktualisiert: 2023-07-02
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In diesem Lehrbuch werden die grundlegenden Begriffe der Theoretischen Informatik - Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, rekursive Funktionen, Regelsprachen, Turingmaschinen, Komplexität - auf der Basis der Programmiersprache PASCAL motiviert, abgeleitet und in einer einheitlichen Betrachtungsweise dargestellt. Ferner wird die Äquivalenz verschiedener Ansätze zu einer Theorie der Berechenbarkeit - Programme, rekursive Funktionen, Regelsprachen und Turingmaschinen - als weiteres zentrales Konzept herausgestellt. Während in den Kapiteln 1-7 qualitative Aspekte der Berechenbarkeit behandelt werden, ist Kapitel 8 den quantitativen Aspekten gewidmet. Die Komplexität, d.h. Zeit- bzw. Speicheraufwand für eine Berechnung, ist sowohl abhängig von dem zugrundeliegenden Berechnungsmodell als auch von dem zu lösenden Problem, da für ein bestimmtes Problem gewisse Schranken nicht unterschritten werden können. Bei einem so weitgespannten Gebiet wie der Theoretischen Informatik müssen zwangsläufig manche Einschränkungen bei der Stoffauswahl gemacht werden. So wird z.B. Semantik nur informell behandelt, Parallelität nur ansatzweise betrachtet oder Automatentheorie nur am Rand gestreift. Ziel der Stoffauswahl war es, ein möglichst umfassendes Bild der Theoretischen Informatik zu bieten und ein Fundament für weitergehende Studien zu legen. Das Buch setzt Grundkenntnisse aus den Anfängervorlesungen über Analysis und Lineare Algebra voraus. Um den Leser mit der Terminologie in diesem Buch vertraut zu machen, sind im Anhang diese mathematischen Grundlagen in knapper Form zusammengestellt.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Aktualisiert: 2023-07-03
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Dieses Buch behandelt die Geometrie des Anschauungsraums in allen ihren Aspekten. Wie in jedem Teilgebiet der Mathematik geht es darum, das Verborgene auf das Offensichtliche zurückzuführen; die Besonderheit der Geometrie ist, dass das Offensichtliche manchmal im wörtlichen Sinne vor Augen liegt.Ausgehend von der Anschauung werden räumliche Konzepte in das bereits vorhandene mathematische Gerüst der Linearen Algebra und der Analysis eingebettet. Der Weg von der Anschauung zur mathematisch exakten Sprache ist selbst Lerninhalt dieses Buches. Damit soll eine oft beklagte Verstehenslücke geschlossen werden, die sich zwischen der anschaulichen Vorschul- und Schul- Geometrie und den abstrakten Begriffen der Linearen Algebra und Analysis auftut. Zugleich werden damit anschaulich-geometrische Argumentationsweisen gerechtfertigt, weil ihre Einbettung in die strenge mathematische Sprache geklärt wurde.Die Begriffe der Geometrie sind von ganz unterschiedlicher Natur; sie bezeichnen sozusagen verschiedene Schichten geometrischen Denkens: Manche Argumente verwenden nur Begriffe wie Punkt, Gerade und Inzidenz, andere benötigen Winkel und Abstände, wieder andere Symmetrie-Überlegungen. Jedes dieser Begriffsfelder bestimmt ein eigenes Teilgebiet der Geometrie und ein eigenes Kapitel dieses Buches, mit Ausnahme des letztgenannte Begriffsfelds "Symmetrie", das alle anderen durchzieht: - Inzidenz: Projektive Geometrie - Parallelität: Affine Geometrie - Winkel: Konforme Geometrie - Abstand: Metrische Geometrie - Krümmung: Differentialgeometrie - Winkel als Abstandsmaß: Sphärische und Hyperbolische Geometrie - Symmetrie: Abbildungsgeometrie.Die im Anschauungsraum erworbene mathematische Erfahrung lässt sich ohne Mühe mit Hilfe des Vektorraum-Begriffs auf sehr viel abstraktere Situationen übertragen. Die Verallgemeinerungen über die Anschauung hinaus weisen in zwei Richtungen: Erweiterung des Zahlbegriffs und Überschreiten der drei anschaulichen Dimensionen.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Dieses Buch behandelt die Geometrie des Anschauungsraums in allen ihren Aspekten. Wie in jedem Teilgebiet der Mathematik geht es darum, das Verborgene auf das Offensichtliche zurückzuführen; die Besonderheit der Geometrie ist, dass das Offensichtliche manchmal im wörtlichen Sinne vor Augen liegt.Ausgehend von der Anschauung werden räumliche Konzepte in das bereits vorhandene mathematische Gerüst der Linearen Algebra und der Analysis eingebettet. Der Weg von der Anschauung zur mathematisch exakten Sprache ist selbst Lerninhalt dieses Buches. Damit soll eine oft beklagte Verstehenslücke geschlossen werden, die sich zwischen der anschaulichen Vorschul- und Schul- Geometrie und den abstrakten Begriffen der Linearen Algebra und Analysis auftut. Zugleich werden damit anschaulich-geometrische Argumentationsweisen gerechtfertigt, weil ihre Einbettung in die strenge mathematische Sprache geklärt wurde.Die Begriffe der Geometrie sind von ganz unterschiedlicher Natur; sie bezeichnen sozusagen verschiedene Schichten geometrischen Denkens: Manche Argumente verwenden nur Begriffe wie Punkt, Gerade und Inzidenz, andere benötigen Winkel und Abstände, wieder andere Symmetrie-Überlegungen. Jedes dieser Begriffsfelder bestimmt ein eigenes Teilgebiet der Geometrie und ein eigenes Kapitel dieses Buches, mit Ausnahme des letztgenannte Begriffsfelds "Symmetrie", das alle anderen durchzieht: - Inzidenz: Projektive Geometrie - Parallelität: Affine Geometrie - Winkel: Konforme Geometrie - Abstand: Metrische Geometrie - Krümmung: Differentialgeometrie - Winkel als Abstandsmaß: Sphärische und Hyperbolische Geometrie - Symmetrie: Abbildungsgeometrie.Die im Anschauungsraum erworbene mathematische Erfahrung lässt sich ohne Mühe mit Hilfe des Vektorraum-Begriffs auf sehr viel abstraktere Situationen übertragen. Die Verallgemeinerungen über die Anschauung hinaus weisen in zwei Richtungen: Erweiterung des Zahlbegriffs und Überschreiten der drei anschaulichen Dimensionen.
Aktualisiert: 2023-07-02
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Dieses Buch behandelt die Geometrie des Anschauungsraums in allen ihren Aspekten. Wie in jedem Teilgebiet der Mathematik geht es darum, das Verborgene auf das Offensichtliche zurückzuführen; die Besonderheit der Geometrie ist, dass das Offensichtliche manchmal im wörtlichen Sinne vor Augen liegt.Ausgehend von der Anschauung werden räumliche Konzepte in das bereits vorhandene mathematische Gerüst der Linearen Algebra und der Analysis eingebettet. Der Weg von der Anschauung zur mathematisch exakten Sprache ist selbst Lerninhalt dieses Buches. Damit soll eine oft beklagte Verstehenslücke geschlossen werden, die sich zwischen der anschaulichen Vorschul- und Schul- Geometrie und den abstrakten Begriffen der Linearen Algebra und Analysis auftut. Zugleich werden damit anschaulich-geometrische Argumentationsweisen gerechtfertigt, weil ihre Einbettung in die strenge mathematische Sprache geklärt wurde.Die Begriffe der Geometrie sind von ganz unterschiedlicher Natur; sie bezeichnen sozusagen verschiedene Schichten geometrischen Denkens: Manche Argumente verwenden nur Begriffe wie Punkt, Gerade und Inzidenz, andere benötigen Winkel und Abstände, wieder andere Symmetrie-Überlegungen. Jedes dieser Begriffsfelder bestimmt ein eigenes Teilgebiet der Geometrie und ein eigenes Kapitel dieses Buches, mit Ausnahme des letztgenannte Begriffsfelds "Symmetrie", das alle anderen durchzieht: - Inzidenz: Projektive Geometrie - Parallelität: Affine Geometrie - Winkel: Konforme Geometrie - Abstand: Metrische Geometrie - Krümmung: Differentialgeometrie - Winkel als Abstandsmaß: Sphärische und Hyperbolische Geometrie - Symmetrie: Abbildungsgeometrie.Die im Anschauungsraum erworbene mathematische Erfahrung lässt sich ohne Mühe mit Hilfe des Vektorraum-Begriffs auf sehr viel abstraktere Situationen übertragen. Die Verallgemeinerungen über die Anschauung hinaus weisen in zwei Richtungen: Erweiterung des Zahlbegriffs und Überschreiten der drei anschaulichen Dimensionen.
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