Zur Stabilität dynamischer Systeme mit stochastischer Anregung
Marcus Simon
Die Vorgehensweise einer Stabilitätsanalyse stochastisch erregter dynamischer Systeme nach dem Konzept von Khas’minskii wird anhand drei unterschiedlicher Beispiele vorgestellt. Eine Aussage über die Stabilität der betrachteten Lösung erfolgt über das Vorzeichen des größten Ljapunov-Exponenten, der durch die Fürstenberg-Khas’minskii-Gleichung bestimmt werden kann. Hierfür ist die Kenntnis der stationären Verteilungsdichte des Systems notwendig. Diese wird entweder durch direkte Integration des stochastischen Differentialgleichungssystem (Monte-Carlo-Simualtion) oder als Lösung der zugehörigen Fokker-Planck-Gleichung bestimmt. Zunächst wird nochmals mit der Untersuchung gekoppelter Biege- und Torsionsschwingungen auf die Problematik parametererregter Systeme eingegangen. Hierbei steht der Vergleich zweier Koordinatentransformationen im Vordergrund. Beide Transformationen führen gemäß des Konzeptes von Khas’minskii auf ein System nichtlinearer stochastischer Differentialgleichungen mit einer einseitigen Entkopplung des instationären Lösungsanteiles. Anschließend wird die Stabilitätsanalyse auf nichttriviale Lösungen nichtlinearer Systeme mit stochastischer Fremderregung ausgedehnt. Die Variationsgleichungen bilden hier zusammen mit den stochastischen Differentialgleichungen der zu untersuchenden Lösung ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem, das die Grundlage für die Berechnung des größten Ljapunov-Exponenten darstellt. In allen drei Beispielen ist zu erkennen, dass die hier verwendete Methode eine effektive Vorgehensweise bei der Bestimmung des größten Ljapunov-Exponenten von Lösungen stochastisch erregter dynamischer Systeme ist.
