In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen, daß man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A. , die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A. , und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.
Aktualisiert: 2023-02-02
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Aktualisiert: 2022-02-27
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Aktualisiert: 2023-04-07
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Mit dem vorliegenden Buche wird der Versuch unternommen, einige der wichtigsten numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen im Zusammenhange darzustellen. Daß eine solche Übersicht bei der Größe des behandelten Gebietes in dem Umfange dieses Buches auch nicht entfernt erschöpfend sein kann, liegt auf der Hand; insbesondere war es bei den partiellen Differential gleichungen nur möglich, die Grundideen darzustellen und auf die in den Anwendungsgebieten, in Hydrodynamik, Aerodynamik usw. weit gehend ausgearbeiteten, aber meist auf spezielle Probleme zugeschnittenen Methoden hinzuweisen. Das Buch verfolgt aber weniger den Zweck, diese speziellen Ver fahren, die dazugehörigen Rechenschemata usw. wiederzugeben, als viel mehr einem breiteren Kreis von Ingenieuren, Physikern und Mathe matikern die allgemeinen Methoden nahezubringen und an zahlreichen durchgerechneten Beispielen zu zeigen, daß es durchaus nicht so mühsam und umständlich ist, sich auf numerischem Wege einen Überblick über den Verlauf der Lösung einer Differentialgleichungsaufgabe zu ver schaffen, wie nach einem weitverbreiteten Vorurteil angenommen wird.
Aktualisiert: 2022-12-01
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Aktualisiert: 2023-04-07
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Aktualisiert: 2023-04-07
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Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es möchte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein Struktur wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der Groß rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. So ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehört. Die Funk tionalanalysis ist eine Grundlage für große Teile beider genannten Dis ziplinen, und der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen "reiner" und "angewandter" Mathematik ad absurdum zu führen; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.
Aktualisiert: 2023-04-03
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In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen, daß man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A. , die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A. , und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.
Aktualisiert: 2023-04-04
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gestellte Aufgaben, Methode der finiten Elemente, Verzweigungsprobleme und anderes. Bei dem Problem der Modernisierung der Darstellung glaubte ich, behutsam vorge hen zu müssen. Es gibt genügend viele sehr abstrakte, oft auf der Funktionalanalysis basierende Lehrbücher über Differentialgleichungen, bei denen aber gewöhnlich die Anwendungen und die konkrete Seite zu kurz kommen. Es lag mir aber sehr daran, daß Ingenieure und Naturwissenschaftler die Darstellung verstehen können. Damit aber den Anwendern der Zugang zu moderner mathematischer Literatur nicht ver baut wird, habe ich mich entschlossen, den grundlegenden allgemeinen Existenz-und Eindeutigkeitssatz zweimal zu bringen, einmal in der klassischen Weise und ein zweites Mal in funktionalanalytischer Sprechweise; der Leser wird bemerken, daß die bei den Beweise in gleicher Weise vorgehen. An dieser Stelle sei mir ein Wort zur allgemeinen Situation der Mathematik gestat tet: Bei der Mathematik, die doch von ihrer Anwendbarkeit lebt, besteht vielfach immer noch die Gefahr, die Abstraktionen über zu bewerten und die Konkretisierun gen zu vernachlässigen. Häufig wird ein guter Ingenieur mit einer konkreten Diffe rentialgleichung besser fertig als ein Mathematiker, und die Mathematik verliert an Boden. Das bedeutet immer noch eine ernst zu nehmende Gefahr für die Mathematik. Bei der zweiten Auflage haben mir die Herren Prof. Dr. Günter Meinardus, Dr. Alfred Meyer und Dr. Rüdiger Nicolovius sehr geholfen. Sie haben nicht nur die mühevolle Überprüfung bis in alle Einzelheiten des Zahlenmaterials vorgenommen, sondern mir auch zahlreiche wertvolle Ergänzungs- und Verbesserungsvorschläge gemacht, z. B. verdankt ihnen die Zusammenstellung in Kapitel III Nr. 20 die Über sichtlichkeit und Vollständigkeit.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Aktualisiert: 2023-04-07
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Aktualisiert: 2023-04-04
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