Aktualisiert: 2023-07-03
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Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte
Schlüsselwort: Zinsstrukturmodelle
Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte
Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte
Modellierung derivater Finanzinstrumente
Grundlegende Begriffe wie fehlendes Arbitrage, fairer Preis, vollständiger Markt und Martingal werden anhand von einem Markt mit einem risikolosen Bond und einer Aktie definiert. Anschließend wird mit dem Übergang zum zeitstetigen Modell die Black-Scholes Formel für Optionen hergeleitet und die Faktoren zur praktischen Implementierung eingeführt. Methoden der stochastischen Analysis wie die Ito-Formel werden abgeleitet und der klassische Ansatz nach Black-Scholes mittels der stochastischen Differenzialgleichung präsentiert. Der Ansatz über die Martingaltheorie ist ein Gegenstand, der für die Bewertung komplexer Optionen (amerikanische und exotische) notwendig ist. Im letzten Kapitel sind die Grundlagen der Zinstrukturmodelle Gegenstand der Betrachtung.
In allen Abschnitten werden numerische Methoden angegeben, die mit Programmen zur praktischen Illustration implementiert werden.
Aktualisiert: 2023-03-14
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Modellierung derivater Finanzinstrumente
Grundlegende Begriffe wie fehlendes Arbitrage, fairer Preis, vollständiger Markt und Martingal werden anhand von einem Markt mit einem risikolosen Bond und einer Aktie definiert. Anschließend wird mit dem Übergang zum zeitstetigen Modell die Black-Scholes Formel für Optionen hergeleitet und die Faktoren zur praktischen Implementierung eingeführt. Methoden der stochastischen Analysis wie die Ito-Formel werden abgeleitet und der klassische Ansatz nach Black-Scholes mittels der stochastischen Differenzialgleichung präsentiert. Der Ansatz über die Martingaltheorie ist ein Gegenstand, der für die Bewertung komplexer Optionen (amerikanische und exotische) notwendig ist. Im letzten Kapitel sind die Grundlagen der Zinstrukturmodelle Gegenstand der Betrachtung.
In allen Abschnitten werden numerische Methoden angegeben, die mit Programmen zur praktischen Illustration implementiert werden.
Aktualisiert: 2023-04-04
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Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte
Modellierung und Prognose der Zinsstruktur auf der Basis dynamischer Modelle der Nelson/Siegel-Klasse
Ein historisch niedriges Zinsniveau auf der einen Seite, Renditeeinbrüche und steigende Volatilitäten bei Aktien auf der anderen Seite – eine Marktsituation, die institutionelle Investoren vor neue Herausforderungen stellt. In besonderer Weise sind Lebensversicherungsunternehmen von der aufgezeigten Problematik betroffen, da diese trotz einer immer geringeren Nettoverzinsung der Aktiva die zugesagten Garantieleistungen bestehender Verträge erwirtschaften müssen. Um in diesem Marktumfeld fundierte Investitionsentscheidungen für Portfolios aus festverzinslichen Wertpapieren zu treffen, muss die künftige Zinsentwicklung möglichst exakt eingeschätzt werden.
Bekannte Zinsstrukturmodelle der Nelson/Siegel-Klasse, die auch von Zentralbanken eingesetzt werden, können jedoch nicht ohne Erweiterung in der zeitlichen Längsschnittanalyse verwendet werden. In der aktuellen Forschung wird basierend auf der Faktormodellstruktur die Dynamik der Zinsstruktur abgebildet. Mittels einer Modifikation der ursprünglichen Modellgleichung lassen sich darüber hinaus arbitragefreie Varianten der Zinsmodelle der Nelson/Siegel-Klasse ableiten, sodass diese in den modelltheoretischen Rahmen eines vollständigen Finanzmarktmodells eingebettet werden können.
Vor diesem Hintergrund werden ausgewählte Zinsmodelle bezüglich ihrer Anpassungsfähigkeit an die vergangene Zinsentwicklung sowie bezüglich ihrer Prognosegüte der künftigen Zinsstrukturkurve analysiert. Des Weiteren wird die Frage untersucht, inwiefern die Modelle im Management von Bondportfolios eingesetzt werden können, um das Risiko der künftigen Wertentwicklung auf Basis von Simulationsrechnungen zu quantifizieren. Zur Quantifizierung des Risikos der Bondportfolios werden bekannte Risikomaße, wie z. B. Value at Risk und Worst Case Average Return, verwendet.
Aktualisiert: 2019-10-03
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Extended Libor Market Models
Im Lauf der letzten 20 Jahre hat die Bedeutung derivativer Finanzverträge und deren quantitativer Analyse stetig zugenommen. Zur mathematischen Modellierung des Zinsrisikos ist seit einigen Jahren das Marktmodell in den Brennpunkt akademischer Forschung gerückt, auch in der Praxis der Finanzinstitute ist es weltweit im täglichen Einsatz. Seine Beliebtheit verdankt es unter anderem einer wichtigen Eigenschaft: Es liefert eine finanzmathematisch fundierte Theorie, um die Black-Formel herzuleiten. Diese ist die Standardbewertungsmethode für die bekannteste Zinsoption, den Cap. Am Markt beobachtet man Verwerfungen der Preise für Caps mit verschiedenen Laufzeiten und Ausübungspreisen, die das lognormale Marktmodell nicht erklären kann. Die hier publizierte Dissertation stellt Erweiterungen des Marktmodells vor, mit deren Hilfe solche Preise erfasst werden können. Das erweiterte Marktmodell erlaubt es, sowohl die wichtigsten Zinsoptionen mit geschlossenen Formeln zu bewerten, als auch reale Daten besser zu beschreiben. Das stochastische lognormale Modell eines Wertpapieres benutzt eine lineare Funktion für dessen Volatilität. Der erste Teil des Buches stellt Ergebnisse vor, wie das Modell auf quadratische Funkionen erweitert werden kann. Diese Verallgemeinerung erlaubt immer noch, Kaufoptionen mit geschlossenen Formeln zu bewerten. Man muss also nicht auf numerische oder Monte-Carlo Methoden zurückgreifen. Im zweiten Teil wird diese Verallgemeinerung auf das klassische Zinsmarktmodell angewandt. Man erhält verschiedene Bewertungsformeln für Caps, die sich leicht an Marktdaten kalibrieren lassen. Zusätzlich wird gezeigt, dass man im erweiterten Marktmodell eine einfache Approximationsformel zur Bewertung von Swaptions herleiten kann. Eine Swaption ist das neben dem Cap wichtigste Zinsderivat, nämlich eine Option auf einen Zinsswap. Abschliessend wird am Beispiel von Daten des deutschen Kapitalmarkts gezeigt, dass die Erweiterungen die Preise von Caps und Swaptions auch empirisch besser beschreiben.
Aktualisiert: 2020-12-04
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